3.组合数的两个性质：

(1)C=C；(2)C=C+C.

●点击双基

2.组合数公式C=.

1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示.

10.3　 组合

●知识梳理

9.有点难度哟！

8个人站成一排，其中A、B、C互不相邻且D、E也互不相邻的排法有多少种?

解：先排去掉A、B、C外的5个人，有A种，

再排A、B、C 3人，有A种.

故有A·A种(含D、E相邻).

其中D、E相邻的有A·A·A种.

∴满足条件的排法种数为A·A－A·A·A=11520.

思考讨论

下述解法少了哪种情况?

解：先排A、B、C、D、E外的3人，有A种，

再排A、B、C 3人，有A种(插空)，

最后排D、E 2人，有A种(插空).

故排法种数为A·A·A=6048.

●思悟小结

对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法：

(1)直接法：

(2)间接法；

(3)一般先从特殊元素和特殊位置入手.

●教师下载中心

教学点睛

排列与组合是两类特殊的计数问题，它还有一些较为独特的思考方法，应理解掌握.关于排列组合问题，大致有下面几种解法：第一，不附加条件的排列组合问题.大多用分类讨论的方法，注意分类不重不漏.第二，元素必须相邻.一般采用看作一个整体的方法.第三，元素不相邻.采用插空法.第四，排列组合的混合型问题.交替使用两个原理.第五，间接法.把不合条件的排列数或组合数剔除掉.第六，穷举法.把符合条件的所有排列或组合一一写出来.

拓展题例

[例1] (1)书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不变，再放上2本不同的书，有多少种不同的放法？

(2)身高均不相同的7个人排成一列，要求正中间的个子最高，从中间向两边看，一个比一个矮，有多少种不同的排法？

解：(1)问题相当于5本书排成一排，其中某3本书的顺序一定.所以共有=A=20种放法.

(2)先排正中间的人，只有1种方法，再排左边的3个人，有C种方法，剩下的3个人排在右边的3个位子中只有1种方法，所以共有C=20种方法.

评述：第(1)题是定序排列问题，可用缩倍法求解.

[例2] 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?

(1)甲不在中间也不在两端；

(2)甲、乙两人必须排在两端；

(3)男、女生分别排在一起；

(4)男女相间；

(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.

分析：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起.

解：(1)方法一：(元素分析法)先排甲有6种，其余有A种，故共有6·A=241920种排法.

方法二：(位置分析法)中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有A·A=336×720=241920种排法.

方法三：(等机会法)9个人的全排列数有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A×=241920种.

方法四：(间接法)A－3·A=6A=241920种.

(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A·A=10800种排法.　　

(3)(捆绑法)A·A·A=5760种.

(4)(插空法)先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A=2880种排法.

(5)方法一：(等机会法)9人共有A种排法，其中甲、乙、丙三人有A种排法，因而在A种排法中每A种对应一种符合条件的排法，故共有=60480种排法.

方法二：C·A=60480种.

点评：本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.

8.(理)用1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数a₁a₂a₃a₄a₅，满足a₁<a₂，a₂>a₃，a₃<a₄，a₄>a₅的五位数有多少个？

解：因为a₂>a₁、a₃，a₄>a₃、a₅，所以a₂只能是3、4、5.

(1)若a₂=3，则a₄=5，a₅=4，a₁与a₃是1或2，这时共有A=2个符合条件的五位数.

(2)若a₂=4，则a₄=5，a₁、a₃、a₅可以是1、2、3，共有A=6个符合条件的五位数.

(3)若a₂=5，则a₄=3或4，此时分别与(1)(2)情况相同.

所以，满足条件的五位数有2(A+A)=16个.

(文)用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的五位数，求比20314大的数的个数.

解：比20314大的五位数可分为三类：

第一类：3××××，4××××，5××××，共3A(个)；

第二类：21×××，23×××，24×××，25×××，共4A(个)；

第三类：203××，204××，205××，除去20314这个数，共3A－1(个).

故比20314大的无重复数字的五位数有3A+4A+3A－1=473(个).

还可以这样考虑：

用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数共A个.其中比20314小的有两类：第一类：0××××，1××××，共2A个；第二类：201××，有A个，与20314相等的有1个，

故比20314大的数共有A－2A－A－1=473(个).

探究创新

7.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数的个数是多少个？

解：(1)个位数为0，十位数可为1、2、3、4、5，故为A种；(2)个位数为1，十位数可为2、3、4、5，故为A·A·A个；(3)个位数为2，十位数为3、4、5，故为A·A·A个；(4)个位数为3，十位数为4、5，故为A·A·A个；(5)个位数为4，十位数为5，故为A·A个.

所以共有A+A·A(A+A+A+1)=300个.

6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名次排列共可能有多少种不同的情况?(用数字作答)

解：本题等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法有多少种.乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A种排法.故共有3·3·A=54种不同的情况.

5.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，

(1)可组成多少个不同的四位数?

(2)可组成多少个四位偶数?

(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?

解：(1)AA=300或A－A=300(间接法).

(2)A+AAA=156.

(3)千位是1的四位数有A=60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A=24个，

∴第85项是2301.

培养能力

4.在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有_______个.

解析：形如2××0，3××1，4××2，5××3，6××4，7××5，8××6，9××7符合条件，共有8A=448个.

答案：448