2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为P_n(k)=Cp^k(1－p)^n－k.

1.相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.

11.3　 相互独立事件同时发生的概率

●知识梳理

2.如果某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件(即A不发生)所包含的情形较少，利用公式P(A)=1－P()计算A的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.

拓展题例

[例题] 某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：

(1)该车在某停车点停车；

(2)停车的次数不少于2次；

(3)恰好停车2次.

解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有3⁸=6561(个)基本事件.

(1)记“该车在某停车点停车”为事件A，事件A发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”.

∵P()==，

∴P(A)=1－P()=1－=.

(2)记“停车的次数不少于2次”为事件B，则“停车次数恰好1次”为事件，则P(B)=1－P()=1－=1－=.

(3)记“恰好停车2次”为事件C，事件C发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件数为C(C+C+C+…+C)=3×(2⁸－2)=3×254，于是P(C)==.

1.概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)，否则公式不能使用.

9.有点难度哟！

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站(从k到k+1)，若掷出反面，棋向前跳两站(从k到k+2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为P_n.

(1)求P₀，P₁，P₂的值；

(2)求证：P_n－P_n－1=－(P_n－1－P_n－2)，其中n∈N，2≤n≤99；

(3)求P₉₉及P₁₀₀的值.

(1)解：棋子开始在第0站为必然事件，∴P₀=1.

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，

∴P₁=.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；

②第一次掷硬币出现反面，其概率为.

∴P₂=+=.

(2)证明：棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情况是下列两种，而且也只有两种：

①棋子先到第n－2站，又掷出反面，其概率为P_n－2；

②棋子先到第n－1站，又掷出正面，其概率为P_n－1.

∴P_n=P_n－2+P_n－1.

∴P_n－P_n－1=－(P_n－1－P_n－2).

(3)解：由(2)知，当1≤n≤99时，数列{P_n－P_n－1}是首项为P₁－P₀=－，公比为－的等比数列.

∴P₁－1=－，P₂－P₁=(－)²，P₃－P₂=(－)³，…，P_n－P_n－1=(－)ⁿ.

以上各式相加，得P_n－1=(－)+(－)²+…+(－)ⁿ，

∴P_n=1+(－)+(－)²+…+(－)ⁿ=［1－(－)ⁿ⁺¹］(n=0，1，2，…，99).

∴P₉₉=［1－()¹⁰⁰］，

P₁₀₀=P₉₈=·［1－(－)⁹⁹］=［1+()⁹⁹］.

●思悟小结

求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.

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教学点睛

8.8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是________.

解法一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A组和都分在B组.2个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为；2个强队都分在B组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为.因此，2个强队分在同一个组的概率为P=+=.

解法二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”这一事件，其概率为.因此，2个强队分在同一个组的概率P=1－=1－=.

答案：

探究创新

7.某单位36人的血型类型是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人.现从这36人中任选2人.

求：(1)两人同为A型血的概率；

(2)两人具有不相同血型的概率.

解：(1)P==.

(2)考虑对立事件：两人同血型为事件A，

那么P(A)==.

所以不同血型的概率为P=1－P(A)=.

6.袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：

(1)摸出2个或3个白球；

(2)至少摸出1个白球；

(3)至少摸出1个黑球.

解：从8个球中任意摸出4个共有C种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A₁，恰有2个白球为事件A₂，3个白球为事件A₃，4个白球为事件A₄，恰有i个黑球为事件B_i.则

(1)摸出2个或3个白球的概率

P₁=P(A₂+A₃)=P(A₂)+P(A₃)=+=+=.

(2)至少摸出1个白球的概率

P₂=1－P(B₄)=1－0=1.

(3)至少摸出1个黑球的概率

P₃=1－P(A₄)=1－=.

培养能力

5.52张桥牌中有4张A，甲、乙、丙、丁每人任意分到13张牌，已知甲手中有一张A，求丙手中至少有一张A的概率.

解：丙手中没有A的概率是，由对立事件概率的加法公式知，丙手中至少有一张A的概率是1－=0.5949.