3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm²)：

其中产品比较稳定的小麦品种是_______.

解析：_甲=(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10，

_乙=(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10，

s_甲²=［(9.8－10)²+(9.9－10)²+(10.1－10)²+(10－10)²+(10.2－10)²］=0.02，

s_乙²=［(9.4－10)²+(10.3－10)²+(10.8－10)²+(9.7－10)²+(9.8－10)²］=0.244.

所以，甲比乙稳定.

答案：甲

2.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是

A.70，25　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.70，50

C.70，1.04　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 D.65，25

解析：易得没有改变，=70，

而s²=［(x₁²+x₂²+…+50²+100²+…+x₄₈²)－48²］=75，

s′²=［(x₁²+x₂²+…+80²+70²+…+x₄₈²)－48²］

=［(75×48+48²－12500+11300)－48²］

=75－=75－25=50.

答案：B

1.一组数据的方差为s²，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得到的一组新数据的方差是

A.s²　　　　　 　　　　 B.2s² 　　　　　　　　　 C.4s²　　　　　 　　　　　 D.s²

解析：由方差公式易求得新数据的方差为4s².

答案：C

4.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得到数据如下(单位：h)：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21.则该电池的平均寿命估计为___________，方差估计为___________.

解析：=(30+35+25+25+30+34+26+25+29+21)

=(0+5－5－5+0+4－4－5－1－9)+30

=28，

s²=［(30－28)²+(35－28)²+(25－28)²+(25－28)²+(30－28)²+(34－28)²+(26－28)²+(25－28)²+(29－28)²+(21－28)²］

=(4+49+9+9+4+36+4+9+1+49)

=17.4.

答案：28　 17.4

●典例剖析

[例1] 是x₁，x₂，…，x₁₀₀的平均数，a是x₁，x₂，…，x₄₀的平均数，b是x₄₁，x₄₂，…，x₁₀₀的平均数，则下列各式正确的是

A.=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.=

C.=a+b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.=

剖析：这100个数的平均数是a+b还是(a+b)，这都很容易让人误解.我们可以从概率及加权平均数的角度来思考.

设P_i是x₁，x₂，…，x₁₀₀中x_i被抽到的概率，q_i是x₁，x₂，…，x₄₀中x_i被抽到的概率，r_i是x₄₁，x₄₂，…，x₁₀₀中x_i被抽到的概率，则P_i=q_i，P_i=r_i.故x₁，x₂，…，x₁₀₀的平均数=(x₁q₁+x₂q₂+…+x₄₀q₄₀)+(x₄₁r₄₁+…+x₁₀₀r₁₀₀)=a+b.

答案：A

评述：除上述解法外，你还有其他解法吗？

特别提示

除了上述方法外，我们还可以先分别求出x₁+x₂+…+x₄₀=40a，x₄₁+x₄₂+…+x₁₀₀=60b，再求.

[例2] 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)

如果甲、乙两人只有1人入选，则入选的应是___________.

剖析：判断谁入选，首先应考虑选手的成绩是否稳定.因此分别求其方差.

甲的平均数为₁=(10+8+9+9+9)=9，

乙的平均数为₂=(10+10+7+9+9)=9，

甲的方差为s_甲=(10－9)²×+(8－9)²×=，

乙的方差为s_乙=(10－9)²××2+(7－9)²×=.

s_乙＞s_甲，说明乙的波动性大，故甲入选.

答案：甲

评述：方差的大小可看出成绩的稳定性，平均数的大小可看出成绩的高低.

[例3] 某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：

求全班的平均成绩和标准差.

剖析：代入方差公式s²=［(x₁²+x₂²+…+x_n²)－n²］即可求得.

解：设全班的平均成绩为，全班成绩的方差为s²，

则s₁²=［(x₁²+x₂²+…+x₁₈²)－18×90²］=36，

s₂²=［(x₁₉²+x₂₀²+…+x₄₀²)－22×80²］=16.

∴=(90×18+80×22)==84.5，

s²=［(x₁²+x₂²+…+x₁₈²)+(x₁₉²+x₂₀²+…+x₄₀²)－40·²］

=［18×(36+8100)+22×(16+6400)－40×］

=(146448+141152－10×169²)

=×1990=49.75.

∴s=≈7.05.

评述：平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得.

[例4] 已知c为常数，s²=［(x₁－)²+(x₂－)²+…+(x_n－)²］，s_c²=［(x₁－c)²+(x₂－c)²+…+(x_n－c)²］.证明：s²≤s_c²，当且仅当c=时，取“=”.

剖析：证明s_c²≥s²，可证明s_c²－s²≥0.因此应用方差公式进行变形即可.

证明：∵s²=［(x₁－)²+…+(x_n－)²］

=［(x₁²+x₂²+…+x_n²)－n²］，

s_c²=［(x₁－c)²+(x₂－c)²+…+(x_n－c)²］

=［(x₁²+x₂²+…+x_n²)－2c(x₁+x₂+…+x_n)+nc²］，

∴s_c²－s²=²－(x₁+x₂+…+x_n)+c²

=²－2c·+c²=(－c)²≥0.

∴s_c²≥s²，当且仅当=c时取“=”.

评述：作差是比较大小的常用手段.

●闯关训练

夯实基础

3.样本a₁，a₂，a₃，…，a₁₀的平均数为，样本b₁，b₂，b₃，…，b₁₀的平均数为，那么样本a₁，b₁，a₂，b₂，…，a₁₀，b₁₀的平均数为

A.+　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(+)

C.2(+)　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 D.(+)

解析：样本a₁，a₂，a₃，…，a₁₀中a_i的概率为P_i，样本b₁，b₂，b₃，…，b₁₀中b_i的概率为P_i′，样本a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，…，a₁₀，b₁₀中a_i的概率为q_i，b_i的概率为q_i′，则P_i=2q_i，故样本a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，…，a₁₀，b₁₀的平均数为a₁q₁+b₁q₁′+a₂q₂+b₂q₂′+…+a₁₀q₁₀+b₁₀q₁₀′=(a₁P₁+…+a₁₀P₁₀)+(b₁P₁′+b₂P₂′+…+b₁₀P₁₀′)=(+).

答案：B

2.甲、乙两人在相同的条件下，射击10次，命中环数如下：

甲：8，6，9，5，10，7，4，8，9，5；

乙：7，6，5，8，6，9，6，8，7，7.

根据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是

A.甲优于乙　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 B.乙优于甲

C.两人没区别　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 D.两人区别不大

解析：x_甲=(8+6+…+5)=7.1，x_乙=(7+6+…+7)=6.9.

s_甲²=［(8－7.1)²+…+(5－7.1)²］=3.69，

s_乙²=［(7－6.9)²+…+(7－6.9)²］=1.29.

∴乙优于甲.

答案：B

1.描述总体离散型程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是

A.样本均值　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 B.样本方差

C.样本最大值　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 D.样本最小值

解析：统计学的基本思想是用样本来估计总体.因此选B.

答案：B

3.总体平均值和方差的估计

人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确.

●点击双基

2.方差的计算方法

(1)对于一组数据x₁，x₂，…，x_n，s²=［(x₁－)²+(x₂－)²+…+(x_n－)²］叫做这组数据的方差，而s叫做标准差.

(2)公式s²=［(x₁²+x₂²+…+x_n²)－n²］.

(3)当一组数据x₁，x₂，…，x_n中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x₁′=x₁－a，x₂′=x₂－a，…，x_n′=x_n－a.

则s²=［(x₁′²+x₂′²+…+x_n′²)－n］.

1.平均数的计算方法

(1)如果有n个数据x₁，x₂，…，x_n，那么=(x₁+x₂+…+x_n)叫做这n个数据的平均数，读作“x拔”.

(2)当一组数据x₁，x₂，…，x_n的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x₁′=x₁－a，x₂′=x₂－a，…，x_n′=x_n－a，那么，= +a.

(3)加权平均数：如果在n个数据中，x₁出现f₁次，x₂出现f₂次，…，x_k出现f_k次(f₁+f₂+…+f_k=n)，那么

=.