3.正态分布
正态分布在实际生产、生活中有着广泛的应用,很多变量,如测量的误差、产品的尺寸等服从或近似服从正态分布,利用正态分布的有关性质可以对产品进行假设检验.
2.样本与总体
用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法.当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示,其几何表示就是相应的条形图,当总体中的个体取不同值较多,甚至无限时,其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识.
用样本估计总体,除在整体上用样本的频率分布去估计总体的分布以外,还可以从特征数上进行估计,即用样本的平均数去估计总体的平均数,用关于样本的方差(标准差)去估计总体的方差(标准差).
1.抽样
当总体中的个体较少时,一般可用简单随机抽样;当总体中的个体较多时,一般可用系统抽样;当总体由差异明显的几部分组成时,一般可用分层抽样,而简单随机抽样作为一种最简单的抽样方法,又在其中处于一种非常重要的地位.实施简单随机抽样,主要有两种方法:抽签法和随机数表法.
系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况,因为这时采用简单随机抽样就显得不方便,系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系,即在将总体中的个体均匀分后的每一段进行抽样时,采用的是简单随机抽样;与简单随机抽样一样,系统抽样也属于等概率抽样.
分层抽样在内容上与系统抽样是平行的,在每一层进行抽样时,采用简单随机抽样或系统抽样,分层抽样也是等概率抽样.
12.3 统 计
●知识梳理
3.要培养学生运用期望与方差的意义解决实际问题的能力.
拓展题例
[例1] 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数.
(1)求方差Dξ的最大值;
(2)求的最大值.
剖析:要求Dξ、的最大值,需求Dξ、Eξ关于p的函数式,故需先求ξ的分布列.
解:随机变量ξ的所有可能取值为0,1,并且有P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1-p,从而Eξ=0×(1-p)+1×p=p,Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.
(1)Dξ=p-p2=-(p-)2+,
∵0<p<1,
∴当p=时,Dξ取得最大值为.
(2)==2-(2p+),
∵0<p<1,∴2p+≥2.
当且仅当2p=,即p=时,取得最大值2-2.
评述:在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势,应引起重视.
[例2] 袋中装有一些大小相同的球,其中有号数为1的球1个,号数为2的球2个,号数为3的球3个,…,号数为n的球n个.从袋中任取一球,其号数作为随机变量ξ,求ξ的概率分布和期望.
解:ξ的概率分布为
ξ |
1 |
2 |
3 |
… |
n |
P |
|
|
|
… |
|
Eξ=1×+2×+3×+…+n×
=(12+22+32+…+n2)=.
2.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度,Dξ越大表示平均偏离程度越大,说明ξ的取值越分散.
1.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.
5.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题,首先应仔细地分析题意,当概率分布不是一些熟知的类型时,应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件,并准确判断各事件的相互关系,从而求出各随机变量相应的概率.
●教师下载中心
教学点睛
4.二项分布的期望与方差:若ξ-B(n,p),则Eξ=np,Dξ=np(1-p).
3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质:
Eξ=xi pi,Dξ=(xi-Eξ)2pi,E(aξ+b)=aEξ+b,D(aξ+b)=a2Dξ.
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