5.已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在实数α、β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N *都成立,证明你的结论.
解:∵f(n)=f(n-1)+lgan-1,令n=2,则f(2)=f(1)+f(a)=-lga+lga=0.
又f(1)=-lga,
∴
∴
∴f(n)=(n2-n-1)lga.
证明:(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设n=k时成立,即f(k)=(k2-k-1)lga,
则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga=(k2-k-1+k)lga=[(k+1)2-(k+1)-1]lga.
∴当n=k+1时,等式成立.
综合(1)(2)可知,存在实数α、β且α=,β=-,使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任意n∈N*都成立.
培养能力
4.如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2个图形中共有____________个顶点.
解析:观察规律:第一个图形有32+3=(1+2)2+(1+2);
第二个图形有(2+2)2+(2+2)=42+4;
第三个图形有(3+2)2+(3+2)=52+5;
…
第n-2个图形有(n+2-2)2+(n+2-2)=n2+n个顶点.
答案:n2+n
3.观察下表:
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
设第n行的各数之和为Sn,则=__________.
解析:第一行1=12,
第二行2+3+4=9=33,
第三行3+4+5+6+7=25=52,
第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.
归纳:第n项的各数之和Sn=(2n-1)2,
=()2=4.
答案:4
2.用数学归纳法证明“1+++…+<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是
A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1
解析:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为;由n=k,末项为到n=k+1,末项为=,∴应增加的项数为2k.
答案:C
1.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是
A.P(n)对n∈N*成立
B.P(n)对n>4且n∈N*成立
C.P(n)对n<4且n∈N*成立
D.P(n)对n≤4且n∈N*不成立
解析:由题意可知,P(n)对n=3不成立(否则n=4也成立).同理可推得P(n)对n=2,n=1也不成立.
答案:D
5.(2004年春季上海,8)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有_________个点.
解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边,每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点;…;依次类推,第n个图形中除中心外有n条边,每边n-1个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1.
答案:n2-n+1
●典例剖析
[例1] 比较2n与n2的大小(n∈N *).
剖析:比较两数(或式)大小的常用方法本题不适用,故考虑用归纳法推测大小关系,再用数学归纳法证明.
解:当n=1时,21>12,
当n=2时,22=22,当n=3时,23<32,
当n=4时,24=42,当n=5时,25>52,
猜想:当n≥5时,2n>n2.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=5时,25>52成立.
(2)假设n=k(k∈N *,k≥5)时2k>k2,
那么2k+1=2·2k=2k+2k>k2+(1+1)k>k2+C+C+C=k2+2k+1=(k+1) 2.
∴当n=k+1时,2n>n2.
由(1)(2)可知,对n≥5的一切自然数2n>n2都成立.
综上,得当n=1或n≥5时,2n>n2;当n=2,4时,2n=n2;当n=3时,2n<n2.
评述:用数学归纳法证不等式时,要恰当地凑出目标和凑出归纳假设,凑目标时可适当放缩.
深化拓展
当n≥5时,要证2n>n2,也可直接用二项式定理证:2n=(1+1)n=C+C+C+…+C+C+C>1+n++=1+n+n2-n>n2.
[例2] 是否存在常数a、b、c使等式1·(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.
剖析:先取n=1,2,3探求a、b、c的值,然后用数学归纳法证明对一切n∈N*,a、b、c所确定的等式都成立.
解:分别用n=1,2,3代入解方程组
下面用数学归纳法证明.
(1)当n=1时,由上可知等式成立;
(2)假设当n=k+1时,等式成立,
则当n=k+1时,左边=1·[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]=1·(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+1·(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)
=k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=(k+1)4-(k+1)2.
∴当n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)得等式对一切的n∈N*均成立.
评述:本题是探索性命题,它通过观察--归纳--猜想--证明这一完整的思路过程去探索和发现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力.
[例3](2003年全国)设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N*).证明:n≥1时,an=[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0.
剖析:给出了递推公式,证通项公式,可用数学归纳法证.
证明:(1)当n=1时,[3+2]-2a0=1-2a0,而a1=30-2a0=1-2a0.
∴当n=1时,通项公式正确.
(2)假设n=k(k∈N*)时正确,即ak=[3k+(-1)k-1·2k]+(-1)k·2k·a0,
那么ak+1=3k-2ak=3k-×3k+(-1)k·2k+(-1)k+1·2k+1a0
=·3k+(-1)k·2k+1+(-1)k+1·2k+1·a0
=[3k+1+(-1)k·2k+1]+(-1)k+1·2k+1·a0.∴当n=k+1时,通项公式正确.
由(1)(2)可知,对n∈N*,an=[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0.
评述:由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键.
深化拓展
本题也可用构造数列的方法求an.
解:∵a0为常数,∴a1=3-2a0.
由an=3n-1-2an-1,
得=-+1,
即=-·+.
∴-=-(-).
∴{-}是公比为-,首项为的等比数列.
∴-=(-a0)·(-)n-1.
∴an=(-a0)·(-2)n-1×3+×3n
=[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0.
注:本题关键是转化成an+1=can+d型.
●闯关训练
夯实基础
4.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为
A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.
解析:当n=1时,显然成立.
当n=k时,左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k),
当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1)
=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)
=(k+1)(k+2)·…·(k+k)=(k+1)(k+2)·…·(k+k)2(2k+1).
答案:B
3.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形有对角线条数f(n+1)为
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
解析:由n边形到n+1边形,增加的对角线是增加的一个顶点与原n-2个顶点连成的 n-2条对角线,及原先的一条边成了对角线.
答案:C
2.(2004年太原模拟题)若把正整数按下图所示的规律排序,则从2002到2004年的箭头方向依次为
解析:2002=4×500+2,而an=4n是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.
答案:D
1.设f(n)=+++…+(n∈N *),那么f(n+1)-f(n)等于
A. B.
C.+ D.-
解析:f(n+1)-f(n)= + +…+ + +-(++…+)=+-=-.
答案:D
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