9.确定抛物线方程y=x²+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.

解：=2x+b，k=y′|_x=2=4+b=2，

∴b=－2.

又当x=2时，y=2²+(－2)×2+c=c，

代入y=2x，得c=4.

探究创新

8.有点难度哟！

若直线y=3x+1是曲线y=x³－a的一条切线，求实数a的值.

解：设切点为P(x₀，y₀)，对y=x³－a求导数是

=3x²，∴3x₀²=3.∴x₀=±1.

(1)当x=1时，

∵P(x₀，y₀)在y=3x+1上，

∴y=3×1+1=4，即P(1，4).

又P(1，4)也在y=x³－a上，

∴4=1³－a.∴a=－3.

(2)当x=－1时，

∵P(x₀，y₀)在y=3x+1上，

∴y=3×(－1)+1=－2，即P(－1，－2).

又P(－1，－2)也在y=x³－a上，

∴－2=(－1)³－a.∴a=1.

综上可知，实数a的值为－3或1.

7.曲线y=－x²+4x上有两点A(4，0)、B(2，4).求：

(1)割线AB的斜率k_AB及AB所在直线的方程；

(2)在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)k_AB==－2，

∴y=－2(x－4).

∴所求割线AB所在直线方程为2x+y－8=0.

(2)=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－3²+3×4=3.

∴C点坐标为(3，3)，所求切线方程为2x+y－9=0.

6.点P在曲线y=x³－x+上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.

解：∵tan=3x²－1，

∴tan∈［－1，+∞).

当tan∈［0，+∞)时，∈［0，)；

当tan∈［－1，0)时，∈［，π).

∴∈［0，)∪［，π).

培养能力

5.已知曲线y=x²－1与y=3－x³在x=x₀处的切线互相垂直，求x₀.

解：在x=x₀处曲线y=x²－1的切线斜率为2x₀，曲线y=3－x³的切线斜率为－3x₀².

∵2x₀·(－3x₀²)=－1，∴x₀=.

答案：

4.曲线y=2x²+1在P(－1，3)处的切线方程是________________.

解析：点P(－1，3)在曲线上，k=(－1)=－4，y－3=－4(x+1)，4x+y+1=0.

答案：4x+y+1=0

3.函数f(x)=ax³+3x²+2，若(－1)=4，则a的值等于________.

解析： (x)=3ax²+6x，从而使3a－6=4，∴a=.

答案：

2.曲线y=f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线方程为3x+y+3=0，则

A. (x₀)>0　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B. (x₀)<0

C. (x₀)=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D. (x₀)不存在

解析：由题知(x₀)=－3.

答案：B

1.函数f(x)=(x+1)(x²－x+1)的导数是

A.x²－x+1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(x+1)(2x－1)

C.3x² D.3x²+1

解析：∵f(x)=x³+1，

∴(x)=3x².

答案：C

5.设函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)(a、b、c是两两不等的常数)，则++=________.

解析：∵f(x)=x³－(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x－abc，

∴(x)=3x²－2(a+b+c)x+ab+bc+ca.

又(a)=(a－b)(a－c)，同理(b)=(b－a)(b－c)，

(c)=(c－a)(c－b).

代入原式中得值为0.

答案：0

●典例剖析

[例1] (1)设a＞0，f(x)=ax²+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x₀，f(x₀))处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为

A.［0，］　　　　 B.［0，］　　　　　　　 C.［0，||］　　　　　　 D.［0，||］

(2)(2004年全国，3)曲线y=x³－3x²+1在点(1，－1)处的切线方程为

A.y=3x－4　　　　　　 B.y=－3x+2　　　　　　　　 C.y=－4x+3 　　　　　　　　 D.y=4x－5

(3)(2004年重庆，15)已知曲线y=x³+，则过点P(2，4)的切线方程是______.

(4)(2004年湖南，13)过点P(－1，2)且与曲线y=3x²－4x+2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程是______.

剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.

解析：(1)∵过P(x₀，f(x₀))的切线的倾斜角的取值范围是［0，］，

∴P到曲线y=f(x)对称轴x=－的距离d=x₀－(－)=x₀+.

又∵(x₀)=2ax₀+b∈［0，1］，

∴x₀∈［，］.∴d=x₀+∈［0，］.

(2)∵点(1，－1)在曲线上，y′=3x²－6x，

∴切线斜率为3×1²－6×1=－3.

∴所求切线方程为y+1=－3(x－1).

(3)∵P(2，4)在y=x³+上，

又y′=x²，∴斜率k=2²=4.

∴所求直线方程为y－4=4(x－2)，4x－y－4=0.

(4)y′=6x－4，∴切线斜率为6×1－4=2.

∴所求直线方程为y－2=2(x+1)，即2x－y+4=0.

答案：(1)B　 (2)B　 (3)4x－y－4=0　 (4)2x－y+4=0

评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.

思考讨论

导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?

答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.

[例2] 曲线y=x³在点(3，27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?

剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.

解：曲线在点(3，27)处切线的方程为y=27x－54，此直线与x轴、y轴交点分别为(2，0)和(0，－54)，

∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=×2×54=54.

评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.

[例3] 已知曲线C：y=x³－3x²+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点(x₀，y₀)(x₀≠0)，求直线l的方程及切点坐标.

剖析：切点(x₀，y₀)既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.

解：∵直线过原点，则k=(x₀≠1).

由点(x₀，y₀)在曲线C上，则y₀=x₀³－3x₀²+2x₀，

∴=x₀²－3x₀+2.

又y′=3x²－6x+2，

∴在(x₀，y₀)处曲线C的切线斜率应为k=(x₀)=3x₀²－6x₀+2.

∴x₀²－3x₀+2=3x₀²－6x₀+2.

整理得2x₀²－3x₀=0.

解得x₀=(∵x₀≠0).

这时，y₀=－，k=－.

因此，直线l的方程为y=－x，切点坐标是(，－).

评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.

[例4] 证明：过抛物线y=a(x－x₁)·(x－x₂)(a≠0，x₁<x₂)上两点A(x₁，0)、B(x₂，0)的切线，与x轴所成的锐角相等.

剖析：利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可.

解：y′=2ax－a(x₁+x₂)，

y′|=a(x₁－x₂)，即k_A=a(x₁－x₂)，y′|=a(x₂－x₁)，即k_B=a(x₂－x₁).

设两条切线与x轴所成的锐角为、β，则tan=|k_A|=|a(x₁－x₂)|，

tanβ=|k_B|=|a(x₂－x₁)|，故tan=tanβ.

又、β是锐角，则=β.

评述：由tan=tanβ不能直接得=β，还必须有、β为锐角时(或在同一单调区间上时)才能得=β.

●闯关训练

夯实基础