3.函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，即分式中分母应不等于0；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0，负分数指数幂中，底数应大于0；对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1……实际问题中还需考虑自变量的实际意义.若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.

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教学点睛

2.理解映射的概念，应注意以下几点：

(1)集合A、B及对应法则f是确定的，是一个系统；

(2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；

(3)集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；

(4)集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(5)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.

1.本节重点内容是函数概念、定义域、值域，难点是映射及其意义.

9.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f(a)+f(b)+f(c)=0，那么映射f:M→N的个数是多少？

解：∵f(a)∈N，f(b)∈N，f(c)∈N，且f(a)+f(b)+f(c)=0，

∴有0+0+0=0+1+(－1)=0.

当f(a)=f(b)=f(c)=0时，只有一个映射；

当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C·A=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.

评述：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.

●思悟小结

8.如果函数f(x)=(x+a)³对任意x∈R都有f(1+x)=－f(1－x)，试求f(2)+ f(－2)的值.

解：∵对任意x∈R，总有f(1+x)=－f(1－x)，

∴当x=0时应有f(1+0)=－f(1－0)，

即f(1)=－f(1).∴f(1)=0.

又∵f(x)=(x+a)³，∴f(1)=(1+a)³.

故有(1+a)³＝0a=－1.∴f(x)=(x－1)³.

∴f(2)+f(－2)=(2－1)³+(－2－1)³＝1³+(－3)³＝－26.

探究创新

7.若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a⁴，a²+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.

解：∵f(1)=3×1+1=4，f(2)=3×2+1=7，f(3)=3×3+1=10，f(k)=3k+1，由映射的定义知

(1)或(2) 　

∵a∈N，∴方程组(1)无解.

解方程组(2)，得a=2或a=－5(舍)，3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.

6.如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f(x).

(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；

(2)作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.

解：(1)这个函数的定义域为(0，12).

当0＜x≤4时，S=f(x)=·4·x=2x；

当4＜x≤8时，S=f(x)=8；

当8＜x＜12时，S=f(x)=·4·(12－x)=2(12－x)=24－2x.

∴这个函数的解析式为

f(x)=　

(2)其图形为　

由图知，［f(x)］_max=8.

5.(2004年全国Ⅳ，文)已知函数y=logx与y=kx的图象有公共点A，且A点的横坐标为2，则k的值等于

A.－　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.－　　　　　　　　　　　　 D.

解析：由点A在y=logx的图象上可求出A点纵坐标y=log2=－.又A(2，－)在y=kx图象上，－=k·2，∴k=－.

答案：A

培养能力

4.(2004年浙江，文13)已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是___________________.

解析：x≥0时，f(x)=1，

xf(x)+x≤2x≤1，∴0≤x≤1；

当x＜0时，f(x)=0，

xf(x)+x≤2x≤2，∴x＜0.综上x≤1.

答案：{x|x≤1}

3.(2004年全国Ⅲ，理11)设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为

A.(－∞，－2］∪［0，10］　　　　　　　　　　　　 B.(－∞，－2］∪［0，1］

C.(－∞，－2］∪［1，10］　　　　　　　　　　　　 D.［－2，0］∪［1，10］

解析：f(x)是分段函数，故f(x)≥1应分段求解.

当x＜1时，f(x)≥1(x+1)²≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.

当x≥1时，f(x)≥14－≥1≤3x≤10，∴1≤x≤10.

综上所述，x≤－2或0≤x≤10.

答案：A