2.(2004年湖北，3)已知f()=，则f(x)的解析式可取为

A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－

解析：令=t，则x=，

∴f(t)=.∴f(x)=.

答案：C

评述：本题考查函数的定义及换元思想.

1.(2004年春季安徽)若f(sinx)=2－cos2x，则f(cosx)等于

A.2－sin2x　　　　 　 B.2+sin2x　　　　　　　　　　 C.2－cos2x　　　　　　　　　 D.2+cos2x

解析：∵f(sinx)=2－(1－2sin²x)=1+2sin²x，

∴f(cosx)=f(sin－x)=1+2sin²(－x)=1+2cos²x=2+cos2x.

答案：D

2.复习目标

(1)由所给函数表达式正确求出函数的定义域；

(2)掌握求函数值域的几种常用方法；

(3)能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；

(4)会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.

●点击双基

1.函数的三种表示法

(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

2.2函数的表示

●知识梳理

2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.

●教师下载中心

教学点睛

数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.

拓展题例

[例1] 设f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有＞0.

(1)若a＞b，比较f(a)与f(b)的大小；

(2)解不等式f(x－)＜f(x－)；

(3)记P={x|y=f(x－c)}，Q={x|y=f(x－c²)}，且P∩Q=，求c的取值范围.

解：设－1≤x₁＜x₂≤1，则x₁－x₂≠0，

∴＞0.

∵x₁－x₂＜0，∴f(x₁)+f(－x₂)＜0.

∴f(x₁)＜－f(－x₂).

又f(x)是奇函数，∴f(－x₂)=－f(x₂).

∴f(x₁)＜f(x₂).

∴f(x)是增函数.

(1)∵a＞b，∴f(a)＞f(b).

(2)由f(x－)＜f(x－)，得

　 ∴－≤x≤.

∴不等式的解集为{x|－≤x≤}.

(3)由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，

∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.

由－1≤x－c²≤1，得－1+c²≤x≤1+c²，

∴Q={x|－1+c²≤x≤1+c²}.

∵P∩Q=，

∴1+c＜－1+c²或－1+c＞1+c²，

解得c＞2或c＜－1.

[例2] (2003年南昌市高三第一次质量调研测试题)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0，1)对称.

(1)求f(x)的解析式；

(2)(文)若g(x)=f(x)·x+ax，且g(x)在区间(0，2］上为减函数，求实数a的取值范围.

(理)若g(x)=f(x)+，且g(x)在区间(0，2］上为减函数，求实数a的取值范围.

解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点A(0，1)的对称点(－x，2－y)在h(x)的图象上.

∴2－y=－x++2.

∴y=x+，即f(x)=x+.

(2)(文)g(x)=(x+)·x+ax，

即g(x)=x²+ax+1.

g(x)在(0，2］上递减－≥2，

∴a≤－4.

(理)g(x)=x+.

∵g′(x)=1－，g(x)在(0，2］上递减，

∴1－≤0在x∈(0，2］时恒成立，

即a≥x²－1在x∈(0，2］时恒成立.

∵x∈(0，2］时，(x²－1)_max=3，

∴a≥3.

[例3] (2003年山东潍坊市第二次模拟考试题)在4月份(共30天)，有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量(单位：件)f(n)关于时间n(1≤n≤30，n∈N^*)的函数关系如下图所示，其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.

(1)求f(n)的表达式，及前m天的销售总数；

(2)按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由.

解：(1)由图形知，当1≤n≤m且n∈N^*时，f(n)=5n－3.

由f(m)=57，得m=12.

∴f(n)=　 　

前12天的销售总量为

5(1+2+3+…+12)－3×12=354件.

(2)第13天的销售量为f(13)=－3×13+93=54件，而354+54＞400，

∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行.

设第n天的日销售量开始低于30件(12＜n≤30)，即f(n)=－3n+93＜30，解得n＞21.

∴从第22天开始日销售量低于30件，

即流行时间为14号至21号.

∴该服装流行时间不超过10天.

1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.

8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作了如下设计：如图(a)，在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图(b).

(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；

(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费)，请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁.

解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x，

∴V₁=(4－2x)²·x=4(x³－4x²+4x)(0＜x＜2).

∴V₁′=4(3x²－8x+4).

令V₁′=0，得x₁=，x₂=2(舍去).

而V₁′=12(x－)(x－2)，

又当x＜时，V₁′＞0；当＜x＜2时，V₁′＜0，

∴当x=时，V₁取最大值.

(2)重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.

新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V₂=3×2×1=6，显然V₂＞V₁.

故第二种方案符合要求.

●思悟小结

7.(2005年春季上海，21)已知函数f(x)=x+的定义域为(0，+∞)，且f(2)=2+.设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N.

(1)求a的值.

(2)问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.

(3)设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.

解：(1)∵f(2)=2+=2+，∴a=.

(2)设点P的坐标为(x₀，y₀)，则有y₀=x₀+，x₀＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x₀，∴有|PM|·|PN|=1，即|PM|·|PN|为定值，这个值为1.

(3)由题意可设M(t，t)，可知N(0，y₀).

∵PM与直线y=x垂直，∴k_PM·1=－1，即=－1.解得t=(x₀+y₀).

又y₀=x₀+，∴t=x₀+.

∴S_△OPM=+，S_△OPN=x₀²+.

∴S_{四边形OMPN}=S_△OPM+S_△OPN=(x₀²+)+≥1+.

当且仅当x₀=1时，等号成立.

此时四边形OMPN的面积有最小值1+.

探究创新

6.(理)已知二次函数f(x)=x²+bx+c(b≥0，c∈R).

若f(x)的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f(x)是否存在？若存在，求出f(x)的表达式；若不存在，请说明理由.

解：设符合条件的f(x)存在，

∵函数图象的对称轴是x=－，

又b≥0，∴－≤0.

①当－＜－≤0，即0≤b＜1时，

函数x=－有最小值－1，则

或(舍去).

②当－1＜－≤－，即1≤b＜2时，则

(舍去)或(舍去).

③当－≤－1，即b≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则解得

综上所述，符合条件的函数有两个，

f(x)=x²－1或f(x)=x²+2x.

(文)已知二次函数f(x)=x²+(b+1)x+c(b≥0，c∈R).

若f(x)的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f(x)是否存在？若存在，求出f(x)的表达式；若不存在，请说明理由.

解：∵函数图象的对称轴是

x=－，又b≥0，∴－≤－.

设符合条件的f(x)存在，

①当－≤－1时，即b≥1时，函数f(x)在［－1，0］上单调递增，则

②当－1＜－≤－，即0≤b＜1时，则

(舍去).

综上所述，符合条件的函数为f(x)=x²+2x.