2.函数单调性可以从三个方面理解

(1)图形刻画：对于给定区间上的函数f(x)，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.

(2)定性刻画：对于给定区间上的函数f(x)，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.

(3)定量刻画，即定义.

上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.

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1.增函数、减函数的定义

一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x₁、x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)(或都有f(x₁)＞f(x₂))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.

2.3函数的单调性

●知识梳理

3.新课改对函数的图象表示提出了更高的要求，要加强图象表示的教学.

拓展题例

[例题] 已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域.

解：设扇形的弧长为l，则l=10－2r，

∴S=lr=(5－r)r=－r²+5r.

由

得＜r＜5.

∴S=－r²+5r的定义域为(，5).

又S=－r²+5r=－(r－)²+且

r=∈(，π)，

∴当r=时，S_最大=.

又S＞－5²+5×5=0，

∴S=－r²+5r，r∈(，5)的值域为(0，］.

2.强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用.

1.用换元法解决问题时，应提醒学生注意“新元”相应的取值范围.

3.要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时，再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时，应注意选择最优解法.

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教学点睛

2.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式，可用待定系数法；如果已知复合函数f［g(x)］的表达式来求f(x)，常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑配法求解.

1.并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示，函数还有另外两种表示方法：列表法、图象法.

9.图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.

(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义.

(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？

解：(1)点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利.

(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价.

深化拓展

(1)图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？

(2)此问题中直线斜率的实际意义是什么？

答案：(1)图①②中的票价是2元.

图(3)中的票价是4元.

(2)斜率表示票价.

●思悟小结