6.(2003年重庆市高三毕业班诊断性试题)已知函数f(x)=m(x+)的图象与函数h(x)=(x+)+2的图象关于点A(0，1)对称.

(1)求m的值；

(2)若g(x)=f(x)+在区间(0，2］上为减函数，求实数a的取值范围.

解：(1)设P(x，y)为函数h(x)图象上一点，点P关于A的对称点为Q(x′，y′)，

则有x′=－x，且y′=2－y.

∵点Q(x′，y′)在f(x)=m(x+)上，

∴y′=m(x′+).

将x、y代入，得2－y=m(－x－).

整理，得y=m(x+)+2.∴m=.

(2)∵g(x)=(x+)，设x₁、x₂∈(0，2］，且x₁＜x₂，

则g(x₁)－g(x₂)=(x₁－x₂)·＞0对一切x₁、x₂∈(0，2］恒成立.

∴x₁x₂－(1+a)＜0对一切x₁、x₂∈(0，2］恒成立.

∴由1+a＞x₁x₂≥4，得a＞3.

5.讨论函数f(x)=(a≠)在(－2，+∞)上的单调性.

解：设x₁、x₂为区间(－2，+∞)上的任意两个值，且x₁＜x₂，则

f(x₁)－f(x₂)=

=

=.

∵x₁∈(－2，+∞)，x₂∈(－2，+∞)且x₁＜x₂，

∴x₂－x₁＞0，x₁+2＞0，x₂+2＞0.

∴当1－2a＞0，即a＜时，f(x₁)＞f(x₂)，该函数为减函数；

当1－2a＜0，即a＞时，f(x₁)＜f(x₂)，该函数为增函数.

培养能力

4.(文)如果函数f(x)=x²+2(a－1)x+2在区间(－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是___________________.

解析：对称轴x=1－a，由1－a≥4，得a≤－3.

答案：a≤－3

(理)(2003年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题)函数y=f(x)的图象与y=2^x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(4x－x²)的递增区间是___________________.

解析：先求y=2^x的反函数，为y=log₂x，∴f(x)=log₂x，f(4x－x²)=log₂(4x－x²).令u=4x－x²，则u＞0，即4x－x²＞0.∴x∈(0，4).

又∵u=－x²+4x的对称轴为x=2，且对数的底为2＞1，∴y=f(4x－x²)的递增区间为(0，2).

答案：(0，2)

3.函数y=log_a(2－ax)在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是

A.(0，1)　　 　　　　 B.(0，2)　　　　　　　　　 C.(1，2)　　 　　　　　 D.(2，+∞)

解析：题中隐含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是减函数.∴y=log_au应为增函数，且u=

2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴

∴1＜a＜2.

答案：C

2.设函数f(x)=log_a|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a+1)与f(2)的大小关系是

A.f(a+1)=f(2)　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(a+1)＞f(2)

C.f(a+1)＜f(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.不能确定

解析：由f(x)=且f(x)在(－∞，0)上单调递增，易得0＜a＜1.∴1＜a+1＜2.又∵f(x)是偶函数，∴f(x)在(0，+∞)上单调递减.∴f(a+1)＞f(2).

答案：B

1.(2004年湖北，理7)函数f(x)=a^x+log_a(x+1)在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为

A. 　　　　　　　　　　　 B.　　 　　　　　　　　　 C.2　　　 　　　　　　　　　　 D.4

解析：f(x)是［0，1］上的增函数或减函数，故f(0)+f(1)=a，即1+a+log_a2=alog_a2=－1，∴2=a^－1a=.

答案：B

4.有下列几个命题：

①函数y=2x²+x+1在(0，+∞)上不是增函数；②函数y=在(－∞，－1)∪(－1，+∞)上是减函数；③函数y=的单调区间是［－2，+∞)；④已知f(x)在R上是增函数，若a+b＞0，则有f(a)+f(b)＞f(－a)+f(－b).其中正确命题的序号是___________________.

解析：①函数y=2x²+x+1在(0，+∞)上是增函数，∴①错；②虽然(－∞，－1)、(－1，+∞)都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4x－x²≥0，解得－1≤x≤5，由于［－2，+∞)不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f(x)在R上是增函数，且a＞－b，∴b＞－a，f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，f(a)+f(b)＞f(－a)+f(－b)，因此④是正确的.

答案：④

●典例剖析

[例1] 如果二次函数f(x)=x²－(a－1)x+5在区间(，1)上是增函数，求f(2)的取值范围.

剖析：由于f(2)=2²－(a－1)×2+5=－2a+11，求f(2)的取值范围就是求一次函数y=－2a+11的值域，当然就应先求其定义域.

解：二次函数f(x)在区间(，1)上是增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是≤，解之得a≤2，故f(2)≥－2×2+11=7，即f(2)≥7.

[例2] 讨论函数f(x)=(a＞0)在x∈(－1，1)上的单调性.

解：设－1＜x₁＜x₂＜1，

则f(x₁)－f(x₂)=－

==.

∵－1＜x₁＜x₂＜1，∴x₂－x₁＞0，x₁x₂+1＞0，(x₁²－1)(x₂²－1)＞0.又a＞0，∴f(x₁)－f(x₂)＞0，函数f(x)在(－1，1)上为减函数.

[例3] 求函数y=x+的单调区间.

剖析：求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，一般有三种方法：

(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性(一增一减)也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x₂)－

f(x₁)的正负.

解：首先确定定义域：{x|x≠0}，∴在(－∞，0)和(0，+∞)两个区间上分别讨论.任取x₁、x₂∈(0，+∞)且x₁＜x₂，则f(x₂)－f(x₁)=x₂+－x₁－=(x₂－x₁)+=(x₂－x₁)(1－)，要确定此式的正负只要确定1－的正负即可.

这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x₁、x₂的任意性，考虑到要将(0，+∞)分为(0，1)与(1，+∞)(这是本题的关键).

(1)当x₁、x₂∈(0，1)时，1－＜0，

∴f(x₂)－f(x₁)＜0，为减函数.

(2)当x₁、x₂∈(1，+∞)时，1－＞0，

∴f(x₂)－f(x₁)＞0，为增函数.

同理可求(3)当x₁、x₂∈(－1，0)时，为减函数；(4)当x₁、x₂∈(－∞，－1)时，为增函数.

评述：解答本题易出现以下错误结论：f(x)在(－1，0)∪(0，1)上是减函数，在(－∞，－1)∪(1，+∞)上是增函数，或说f(x)在(－∞，0)∪(0，+∞)上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.

深化拓展

求函数y=x+(a＞0)的单调区间.

提示：函数定义域x≠0，可先考虑在(0，+∞)上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在(－∞，0)上的单调性.

答案：在(－∞，－］，(，+∞)上是增函数，在(0，］，(－，0)上是减函数.

[例4] 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)·f(b).

(1)求证：f(0)=1；

(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；

(3)求证：f(x)是R上的增函数；

(4)若f(x)·f(2x－x²)＞1，求x的取值范围.

(1)证明：令a=b=0，则f(0)=f ²(0).

又f(0)≠0，∴f(0)=1.

(2)证明：当x＜0时，－x＞0，

∴f(0)=f(x)·f(－x)=1.

∴f(－x)=＞0.又x≥0时f(x)≥1＞0，

∴x∈R时，恒有f(x)＞0.

(3)证明：设x₁＜x₂，则x₂－x₁＞0.

∴f(x₂)=f(x₂－x₁+x₁)=f(x₂－x₁)·f(x₁).

∵x₂－x₁＞0，∴f(x₂－x₁)＞1.

又f(x₁)＞0，∴f(x₂－x₁)·f(x₁)＞f(x₁).

∴f(x₂)＞f(x₁).∴f(x)是R上的增函数.

(4)解：由f(x)·f(2x－x²)＞1，f(0)=1得f(3x－x²)＞f(0).又f(x)是R上的增函数，

∴3x－x²＞0.∴0＜x＜3.

评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中“f(x₂)=f［(x₂－x₁)+x₁］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.

●闯关训练

夯实基础

3.(2003年北京朝阳区模拟题)函数y=log|x－3|的单调递减区间是__________________.

解析：令u=|x－3|，则在(－∞，3)上u为x的减函数，在(3，+∞)上u为x的增函数.又∵0＜＜1，∴在区间(3，+∞)上，y为x的减函数.

答案：(3，+∞)

2.函数y=log_a(x²+2x－3)，当x=2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是

A.(－∞，－3)　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 B.(1，+∞)

C.(－∞，－1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(－1，+∞)

解析：当x=2时，y=log_a5＞0，∴a＞1.由x²+2x－3＞0x＜－3或x＞1，易见函数t＝x²+2x－3在(－∞，－3)上递减，故函数y=log_a(x²+2x－3)(其中a＞1)也在(－∞，－3)上递减.

答案：A

1.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是

A.y=－x+1　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.y=

C.y=x²－4x+5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.y=

答案：B