8.已知函数f(x)=a+b^x－1(b＞0，b≠1)的图象经过点(1，3)，函数f^－1(x+a)(a＞0)的图象经过点(4，2)，试求函数f^－1(x)的表达式.

解：∵函数f(x)=a+b^x－1(b＞0，b≠1)的图象经过点(1，3)，∴a+b⁰=3，a=3－b⁰=

3－1=2.又函数f^－1(x+a)(a＞0)的图象经过点(4，2)，∴f^－1(4+a)=2.

∴f(2)=4+a=4+2=6，即2+b^2－1=6.∴b=4.

故f(x)=2+4^x－1.再求其反函数即得

f^－1(x)=log₄(x－2)+1(x＞2).

7.已知函数f(x)=的图象关于直线y=x对称，求实数m.

解：∵f(x)的图象关于直线y=x对称，又点(5，0)在f(x)的图象上，∴点(0，5)也在f(x)的图象上，即－=5，得m=－1.

6.(2004年全国Ⅲ，15)已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=3^x－1，设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(－8)=______________.

解析：当x＞0时，－x＜0，f(－x)=3^－x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)，即－f(x)=3^－x－1.∴f(x)=1－3^－x.

∴f(x)=　

∴f^－1(x)=

∴f^－1(－8)=g(－8)=－log₃(1+8)=－log₃3²=－2.

答案：－2

培养能力

5.若点(2，)既在函数y＝2^ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=___________，b=___________.

解析：∵点(2，)在函数y＝2^ax+b的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，

∴点(，2)在函数y＝2^ax+b的图象上.

把点(2，)与(，2)分别代入函数y＝2^ax+b可得.

答案：－　

4.(2004年福建，7)已知函数y=log₂x的反函数是y=f^－1(x)，则函数y=f^－1(1－x)的图象是

解析：y=log₂xx=2^yf^－1(x)=2^xf^－1(1－x)=2^1－x.

答案：C

3.(2004年北京，5)函数y=x²－2ax－3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是

A.a∈(－∞，1］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.a∈［2，+∞)

C.a∈［1，2］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.a∈(－∞，1］∪［2，+∞)

解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a≤1或a≥2.

答案：D

2.(文)(2004年全国Ⅲ，文3)记函数y=1+3^－x的反函数为y=g(x)，则g(10)等于

A.2　　　 　　　　　　　　　 B.－2 　　　　　　　　　　　 C.3　　　 　　　　　　　　　　 D.－1

解析：g(10)的值即为10=1+3^－x中x的值3^－x=3²，∴x=－2.

答案：B

(理)(2004年全国Ⅳ，理2)函数y=e^2x(x∈R)的反函数为

A.y=2lnx(x＞0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.y=ln(2x)(x＞0)

C.y=lnx(x＞0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.y=ln(2x)(x＞0)

解析：y=e^2x2x=lnyx=lny，x、y互换y=lnx(x＞0).

答案：C

1.(2004年全国Ⅱ)函数y=+1(x≥1)的反函数是

A.y=x²－2x+2(x＜1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.y=x²－2x+2(x≥1)

C.y=x²－2x(x＜1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.y=x²－2x(x≥1)

解析：y=+1(x≥1)y≥1，反解xx=(y－1)²+1x=y²－2y+2(y≥1)，x、y互换y=x²－2x+2(x≥1).

答案：B

2.若y=f(x)，x∈［a，b］(a＜b)是偶函数，则y=f(x)有反函数吗？(答案：无)

[例2] 求函数f(x)=的反函数.

解：当x≤－1时，y=x²+1≥2，且有x=－，此时反函数为y=－(x≥2).

当x＞－1时，y=－x+1＜2，且有x=－y+1，此时反函数为y=－x+1(x＜2).

∴f(x)的反函数f^－1(x)=

评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.

[例3] 已知函数f(x)是函数y=－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=的图象关于直线y=x－1成轴对称图形，记F(x)=f(x)+g(x).

(1)求F(x)的解析式及定义域.

(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由.

解：(1)由y=－1(x∈R)，得10^x=，x=lg.∴f(x)=lg(－1＜x＜1).

设P(x，y)是g(x)图象上的任意一点，则P关于直线y=x－1的对称点P′的坐标为(1+y，x－1).由题设知点P′(1+y，x－1)在函数y=的图象上，∴x－1=.

∴y=，即g(x)=(x≠－2).

∴F(x)=f(x)+g(x)=lg+，其定义域为{x|－1＜x＜1}.

(2)∵f(x)=lg=lg(－1+)(－1＜x＜1)是减函数，g(x)=(－1＜x＜1)也是减函数，∴F(x)在(－1，1)上是减函数.

故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直.

评述：本题是一道综合题，解决第(2)小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.

深化拓展

若F(x)当x∈［a，b］时是单调函数，则F(x)图象上任两点A、B连线的斜率都不为零.

●闯关训练

夯实基础

1.若y=f(x)是［a，b］上的单调函数，则y=f(x)一定有反函数，且反函数的单调性与y=f(x)一致.