8.(2003年全国，文)设函数f(x)=x²+|x－2|－1，x∈R.

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)求函数f(x)的最小值.

解：(1)f(x)=

∵f(0)=1≠0，

∴f(x)不是R上的奇函数.

∵f(1)=1，f(－1)=3，f(1)≠f(－1)，

∴f(x)不是偶函数.

故f(x)是非奇非偶的函数.

(2)当x≥2时，f(x)=x²+x－3，此时f(x)_min=f(2)=3.

当x＜2时，f(x)=x²－x+1，此时f(x)_min=f()=.

总之，f(x)_min=.

探究创新

7.对于函数f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)=x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax²+(b+1)x+b－1(a≠0).

(1)当a=1，b=－2时，求f(x)的不动点；

(2)若对于任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.

解：(1)当a=1，b=－2时，f(x)=x²－x－3=xx²－2x－3=0(x－3)(x+1)=0x=3或x=－1，∴f(x)的不动点为x=3或x=－1.

(2)对任意实数b，f(x)恒有两个相异不动点对任意实数b，ax²+(b+1)x+b－1=x恒有两个不等实根对任意实数b，Δ=(b+1)²－4a(b－1)＞0恒成立对任意实数b，b²+2(1－4a)b+1+4a＞0恒成立Δ′=4(1－4a)²－4(1+4a)＜0(1－4a)²－(1+4a)＜04a²－3a＜0a(4a－3)＜00＜a＜.

6.设f(x)=x²－2ax+2.当x∈［－1，+∞)时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围.

解：(1)当a≤－1时，f(x)_min=f(－1)=3+2a，x∈［－1，+∞)，f(x)≥a恒成立

f(x)_min≥a，即3+2a≥aa≥－3.故此时－3≤a≤－1.

(2)当a＞－1时，f(x)_min=f(a)=a²－2a²+2=2－a²，x∈［－1，+∞)，f(x)≥a恒成立f(x)_min≥a，即2－a²≥aa²+a－2≤0－2≤a≤1.故此时－1＜a≤1.

由(1)(2)知，当－3≤a≤1时，x∈［－1，+∞)，f(x)≥a恒成立.

5.已知函数f(x)=mx²+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.

解：若m=0，则f(x)=－3x+1，显然满足要求.

若m≠0，有两种情况：

①原点的两侧各有一个，则

m＜0；

②都在原点右侧，则

解得0＜m≤1.

综上可得m∈(－∞，1］.

培养能力

4.要使y=x²+4x(x≥a)有反函数，则a的最小值为___________________.

解析：要使y=x²+4x(x≥a)有反函数，则y=x²+4x在［a，+∞)上是单调函数.∴a≥－2.

答案：－2

3.已知函数y=(e^x－a)²+(e^－x－a)²(a∈R，且a≠0)，求y的最小值.

解：y＝(e^x+e^－x)²－2a(e^x+e^－x)+2a²－2.令t＝e^x+e^－x，则f(t)＝t²－2at+2a²－2.

∵t＝e^x+e^－x≥2，∴f(t)＝(t－a)²+a²－2的定义域为［2，+∞).

∵抛物线的对称轴方程是t＝a，

∴当a≥2时，y_min＝f(a)＝a²－2；当a＜2且a≠0时，y_min＝f(2)＝2(a－1)².

2.已知f(x)=x²－2x+3，在闭区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是___________________.

解析：通过画二次函数图象知m∈［1，2］.

答案：［1，2］

1.下图所示为二次函数y=ax²+bx+c的图象，则｜OA｜·｜OB｜等于

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－　　　　　　　　　　　　 C.±　　　　　　　　　　　　 D.无法确定

解析：|OA|·|OB|=|OA·OB|=|x₁x₂|=||=－(∵a＜0，c＞0).

答案：B

5.(2003年春季上海)若函数y=x²+(a+2)x+3，x∈［a，b］的图象关于直线x=1对称，则b=__________.

解法一：二次函数y=x²+(a+2)x+3的图象关于直线x=1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－=1.∴a=－4.而f(x)是定义在［a，b］上的，即a、b关于x=1也是对称的，∴=1.∴b=6.

解法二：∵二次函数y=x²+(a+2)x+3的对称轴为x=1，∴f(x)可表示为f(x)=(x－1)²+c，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a+2=－2.∴a=－4，b的计算同解法一.

解法三：∵二次函数的对称轴为x=1，∴有f(x)=f(2－x)，比较对应项系数，∴a=－4，b的计算同解法一.

答案：6

●典例剖析

[例1] 设x、y是关于m的方程m²－2am+a+6=0的两个实根，则(x－1)²+(y－1)²的最小值是

A.－12　　　　　　　　　　 B.18 　　　　　　　　　　　　 C.8　　 　　　　　　　　　　 D.

剖析：由Δ=(－2a)²－4(a+6)≥0，得a≤－2或a≥3.

于是有(x－1)²+(y－1)²=x²+y²－2(x+y)+2=(x+y)²－2xy－2(x+y)+2=(2a)²－2(a+6)－4a+2=4a²－6a－10=4(a－)²－.

由此可知，当a=3时，(x－1)²+(y－1)²取得最小值8.

答案：C

深化拓展

Δ≥0是二次方程有实根的隐含条件.

[例2] (2004年江苏，13)二次函数y=ax²+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

则不等式ax²+bx+c＞0的解集是______________.

解析：由表知y=a(x+2)(x－3)，又x=0，y=－6，代入知a=1.∴y=(x+2)(x－3).

答案：{x|x＞3或x＜－2}

[例3] 已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式ax²+bx+c＞0的解是－＜x＜，求a、b、c的取值范围.

解：依题意ax²+bx+c－25=0有解，故Δ=b²－4a(c－25)≥0.又不等式ax²+bx+c＞0的解是－＜x＜，

∴a＜0且有－=－，=－.

∴b=a，c=－a.

∴b=－c，代入Δ≥0得c²+24c(c－25)≥0.

∴c≥24.故得a、b、c的取值范围为a≤－144，b≤－24，c≥24.

评述：二次方程ax²+bx+c=0，二次不等式ax²+bx+c＞0(或＜0)与二次函数y=ax²+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.

●闯关训练

夯实基础

4.函数f(x)=2x²－6x+1在区间［－1，1］上的最小值是___________，最大值是___________.

解析：f(x)=2(x－)²－.

当x=1时，f(x)_min=－3；当x=－1时，f(x)_max=9.

答案：－3　 9