2.函数y＝log₂｜ax－1｜(a≠0)的对称轴方程是x＝－2，那么a等于

A. 　　　　　　　　　　　 B.－　　　　　　　　　　　　 C.2　　 　　　　　　　　　　　 D.－2

解析：y=log₂|ax－1|=log₂|a(x－)|，对称轴为x=，由=－2得a=－.

答案：B

评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f(0)=f(－4)，可得0=log₂|－4a－1|.∴|4a+1|=1.

∴4a+1=1或4a+1=－1.

∵a≠0，∴a=－.

1.(2004年天津，5)若函数f(x)=log_ax(0＜a＜1)在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于

A.　 　　　　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：∵0＜a＜1，∴f(x)=log_ax是减函数.

∴log_aa=3·log_a2a.∴log_a2a=.

∴1+log_a2=.∴log_a2=－.∴a=.

答案：A

5.已知1＜m＜n，令a=(log_nm)²，b=log_nm²，c=log_n(log_nm)，则

A.a＜b＜c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.a＜c＜b

C.b＜a＜c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 D.c＜a＜b

解析：∵1＜m＜n，∴0＜log_nm＜1.

∴log_n(log_nm)＜0.

答案：D

●典例剖析

[例1] 已知函数f(x)=则f(2+log₂3)的值为

A.　　　 　　　　　　　　 B.　　　 　　　　　　　　　 C.　　 　　　　　　　　　 D.

剖析：∵3＜2+log₂3＜4，3+log₂3＞4，

∴f(2+log₂3)=f(3+log₂3)=()^3+log₂³=.

答案：D

[例2] 求函数y＝log₂｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.

解：∵｜x｜＞0，

∴函数的定义域是{x｜x∈R且x≠0}.显然y＝log₂｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x＞0时，y＝log₂｜x｜y＝log₂x.故可画出y＝log₂｜x｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是(－∞，0)，递增区间是(0，+∞).

评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.

深化拓展

已知y=log［a^2x+2(ab)^x－b^2x+1］(a、b∈R⁺)，如何求使y为负值的x的取值范围?

提示：要使y＜0，必须a^2x+2(ab)^x－b^2x+1＞1，即a^2x+2(ab)^x－b^2x＞0.

∵b^2x＞0，

∴()^2x+2()^x－1＞0.

∴()^x＞－1或()^x＜－－1(舍去).

再分＞1，=1，＜1三种情况进行讨论.

答案：a＞b＞0时，x＞log(－1)；

a=b＞0时，x∈R；

0＜a＜b时，x＜log(－1).

[例3] 已知f(x)=log［3－(x－1)²］，求f(x)的值域及单调区间.

解：∵真数3－(x－1)²≤3，

∴log［3－(x－1)²］≥log3=－1，即f(x)的值域是［－1，+∞).又3－(x－1)²＞0，得1－＜x＜1+，∴x∈(1－，1］时，3－(x－1)²单调递增，从而f(x)单调递减；x∈［1，1+)时，f(x)单调递增.

特别提示

讨论复合函数的单调性要注意定义域.

●闯关训练

夯实基础

4.若log_x=z，则x、y、z之间满足

A.y⁷=x^z　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.y=x^7z

C.y=7x^z　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.y=z^x

解析：由log_x=zx^z=x^7z=y，即y=x^7z.

答案：B

3.已知f(x)的定义域为［0，1］，则函数y=f［log(3－x)］的定义域是__________.

解析：由0≤log(3－x)≤1

log1≤log(3－x)≤log

≤3－x≤12≤x≤.

答案：［2，］

2.(2004年春季北京)若f ^－1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f ^－1(x)的值域为___________________.

解析：f ^－1(x)的值域为f(x)=lg(x+1)的定义域.

由f(x)=lg(x+1)的定义域为(－1，+∞)，

∴f ^－1(x)的值域为(－1，+∞).

答案：(－1，+∞)

1.(2005年春季北京，2)函数f(x)=|log₂x|的图象是

解析：f(x)=

答案：A

2.对数函数

(1)对数函数的定义

函数y=log_ax(a＞0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞).

(2)对数函数的图象

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

(3)对数函数的性质:

①定义域：(0，+∞).

②值域：R.

③过点(1，0)，即当x=1时，y=0.

④当a＞1时，在(0，+∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，+∞)上是减函数.

●点击双基

1.对数

(1)对数的定义：

如果a^b=N(a＞0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作log_aN=b.

(2)指数式与对数式的关系：

a^b=Nlog_aN=b(a＞0，a≠1，N＞0).

两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.

(3)对数运算性质:

①log_a(MN)=log_aM+log_aN.

②log_a=log_aM－log_aN.

③log_aMⁿ=nlog_aM.(M＞0，N＞0，a＞0，a≠1)

④对数换底公式：log_bN=(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0).

2.8　 对数与对数函数

●知识梳理