6.已知在正项数列{a_n}中，S_n表示前n项和且2=a_n+1，求a_n.

解：由已知2=a_n+1，得当n=1时，a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1，代入已知有2=

S_n－S_n－1+1，即S_n－1=(－1)².又a_n＞0，故=－1或= 1－(舍)，即－=1(n≥2)，由定义得{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴=n.故a_n=2n－1.

培养能力

5.已知数列{a_n}的前n项和S_n满足log₂(S_n+1)=n+1，求数列{a_n}的通项公式.

解：由已知S_n+1=2^n－1，得S_n=2ⁿ⁺¹－1，故当n=1时，a₁=S₁=3；当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=2ⁿ，故a_n=　　 　

4.(2004年春季上海，8)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有___________________个点.

解析：观察图中五个图形点的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，故第n个图中个数为(n－1)×n+1=n²－n+1.

答案：n²－n+1

3.设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对所有自然数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项，写出此数列的前三项：______________，______________，______________.

解析：由题意得=，由此公式分别令n=1，n=2，n=3可依次解出前三项.

答案：2　 6　 10

2.设a_n＝－n²+10n+11，则数列{a_n}从首项到第______________项的和最大.

A.10　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.11　　　　　　　　　　　　　　 C.10或11　　　　　　　　　　 D.12

解析：a_n＝－n²+10n+11是关于n的二项函数，它是抛物线f(x)＝－x²+10x+11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大.

另解： 由－n²+10n+11≥0得－1≤n≤11，

又n∈N^*，∴0＜n≤11.∴前10项为正，第11项为0.

答案：C

1.若数列{a_n}前8项的值各异，且a_n+8=a_n对任意的n∈N^*都成立，则下列数列中，能取遍数列{a_n}前8项值的数列是

A.{a_2k+1}　　　　　　　　　　　 B.{a_3k+1}　　　　　　　　　　　 C.{a_4k+1}　　　　　　　　　　　 D.{a_6k+1}

解析：由已知得数列以8为周期，当k分别取1，2，3，4，5，6，7，8时，a_3k+1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故{a_3k+1}能取遍前8项.

答案：B

4.已知a_n=，且数列{a_n}共有100项，则此数列中最大项为第____________项，最小项为第___________________项.

解析：a_n==1+，又44＜＜45，－＞0，故第45项最大，第44项最小.

答案：45　 44

●典例剖析

[例1] 在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=，求a_n.

剖析：将递推关系式变形，观察其规律.

解：原式可化为－=n，

∴－=1，－=2，－=3，…，

－=n－1.

相加得－=1+2+…+(n－1)，

∴a_n=.

评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差(等比)数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.

[例2] 有一数列{a_n}，a₁＝a，由递推公式a_n+1＝，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.

剖析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出a_n与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.

解：∵a₁＝a，a_n+1＝，∴a₂＝，

a₃＝＝＝，

a₄＝＝＝.

观察规律：a_n＝形式，其中x与n的关系可由n＝1，2，3，4得出x＝2^n－1.而y比x小1，

∴a_n＝.

评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.

思考讨论

请同学总结解探索性问题的一般思路.

[例3] 已知数列{a_n}的通项公式a_n=cn+，且a₂=，a₄=，求a₁₀.

剖析：要求a₁₀，只需求出c、d即可.

解：由题意知 解得

∴a_n=n+.∴a₁₀=×10+=.

评述：在解题过程中渗透了函数与方程的思想.

●闯关训练

夯实基础

3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S_n(万件)近似地满足关系式S_n=(21n－n²－5)(n=1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是

A.5、6月　　　　　　　　　　 B.6、7月　　　　　　　　　　 C.7、8月　　　　　　　　　　 D.8、9月

解法一：由S_n解出a_n=(－n²+15n－9)，再解不等式(－n²+15n－9)＞1.5，得6＜n＜9.

解法二：将选项中的月份代入计算验证.

答案：C

2.已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n=a_n－1+(n≥3)，则a₅等于

A.　　 　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　　　 C.4　　　　　　　　　　　　　　　 D.5

解析：令n=3，4，5，求a₅即可.

答案：A

1.数列{a_n}中，a₁=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a₁·a₂·a₃·…·a_n=n²，则a₃+a₅等于

A.　　 　　　　　　　　　 B.　　 　　　　　　　　 C.　　 　　　　　　　　 D.

解析一：令n=2、3、4、5，分别求出a₃=，a₅=，∴a₃+a₅=.

解析二：当n≥2时，a₁·a₂·a₃·…·a_n=n².

当n≥3时，a₁·a₂·a₃·…·a_n－1=(n－1)².

两式相除a_n=()²，

∴a₃=，a₅=.∴a₃+a₅=.

答案：A