6.设两向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
解:e12=4,e22=1,e1·e2=2×1×cos60°=1,
∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te12+(2t2+7)e1·e2+7te22=2t2+15t+7.∴2t2+15t+7<0.
∴-7<t<-.设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0)2t2=7t=-,
∴λ=-.
∴当t=-时,2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.
∴t的取值范围是(-7,-)∪(-,-).
思考讨论
向量a、b的夹角为钝角,则cos〈a,b〉<0,它们互为充要条件吗?
培养能力
5.l1、l2是不共线向量,且a=-l1+3l2,b=4l1+2l2,c=-3l1+12l2,若b、c为一组基底,求向量a.
解:设a=λ1b+λ2c,即-l1+3l2=λ1(4l1+2l2)+λ2(-3l1+12l2),
即-l1+3l2=(4λ1-3λ2)l1+(2λ1+12λ2)l2,
∴
解得λ1=-,λ2=,故a=-b+c.
4.设四边形ABCD中,有=且||=||,则这个四边形是
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
解析:∵=,∴DC∥AB,且DC≠AB.又||=||,∴四边形为等腰梯形.
答案:C
3.在四边形ABCD中,--等于
A. B. C. D.
解析:--=-=+=.
答案:C
2.若a、b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则有
A.a∥b且a、b方向相同 B.a=b
C.a=-b D.以上都不对
解析:a、b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,∴a∥b且方向相同.
答案:A
1.(2004年广东,1)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3)且a⊥b,则x等于
A.3 B.1 C.-1 D.-3
解析:由a⊥b,则3x-3=0,∴x=1.
答案:B
5.若a=“向东走8 km”,b=“向北走8 km”,则|a+b|=_______,a+b的方向是_______.
解析:|a+b|==8(km).
答案:8 km 东北方向
●典例剖析
[例1] 已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于
A.1 B. C. D.
剖析:欲求|a+b|,一是设出a、b的坐标求,二是直接根据向量模计算.
解法一:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则x12+y12=1,x22+y22=4,a-b=(x1-x2,y1-y2),
∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=4.
∴x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=4.
∴1-2x1x2-2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1.
∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.
∴|a+b|=.
解法二:∵|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),
∴|a+b|2=2(|a|2+|b|2)-|a-b|2
=2(1+4)-22=6.
∴|a+b|=.故选D.
深化拓展
此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.
[例2] 如图,G是△ABC的重心,求证:++=0.
剖析:要证++=0,只需证+=-,即只需证+与互为相反的向量.
证明:以向量、为邻边作平行四边形GBEC,则+==2.又由G为△ABC的重心知
=2,从而=-2.
∴++=-2+2=0.
评述:向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义,能进一步加深对“向量”的认识,并能体会用向量处理问题的优越性.
深化拓展
此题也可用向量的坐标运算进行证明.
[例3] 设、不共线,点P在AB上,求证:=λ+μ且λ+μ=1,λ、μ∈R.
剖析:∵点P在AB上,可知与共线,得=t.再用以O为起点的向量表示.
证明:∵P在AB上,∴与共线.
∴=t.∴-=t(-).
∴=+t-t=(1-t)+t.
设1-t=λ,t=μ,则=λ+μ且λ+μ=1,λ、μ∈R.
评述:本例的重点是考查平面向量的基本定理,及对共线向量的理解及应用.
深化拓展
①本题也可变为,不共线,若=λ+μ,且λ+μ=1,λ∈R,μ∈R,求证:A、B、P三点共线.
提示:证明与共线.
②当λ=μ=时,=(+),此时P为AB的中点,这是向量的中点公式.
[例4] 若a、b是两个不共线的非零向量(t∈R).
(1)若a与b起点相同,t为何值时,a、tb、(a+b)三向量的终点在一直线上?
(2)若|a|=|b|且a与b夹角为60°,那么t为何值时,|a-tb|的值最小?
解:(1)设a-tb=m[a-(a+b)](m∈R),
化简得(-1)a=(-t)b.
∵a与b不共线,
∴
∴t=时,a、tb、(a+b)的终点在一直线上.
(2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60°=(1+t2-t)|a|2,∴t=时,|a-tb|有最小值|a|.
评述:用两个向量共线的充要条件,可解决平面几何中的平行问题或共线问题.
思考讨论
两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?
●闯关训练
夯实基础
4.e1、e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于
A.0 B.-1 C.-2 D.±1
解析:a与b共线存在实数m,使a=mb,
即e1+ke2=mke1+me2.又e1、e2不共线,
∴∴k=±1.
答案:D
3.若ABCD为正方形,E是CD的中点,且=a,=b,则等于
A.b+a B.b-a
C.a+b D.a-b
解析:=-=+-=+-=b-a.
答案:B
2.(2004年浙江,文4)已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα等于
A. B.- C. D.-
解析:由a∥b,∴3cosα=4sinα.∴tanα=.
答案:A
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