3.已知a=(λ，2)，b=(－3，5)，且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是

A.λ＞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.λ≥

C.λ＜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.λ≤

解析：∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉＜0.

∴a·b＜0.∴－3λ+10＜0.∴λ＞.

答案：A

2.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·(a－3b)=－72，则向量a的模是

A.2　　　　　　　　　　　　　　　 B.4　　　　　　　　　　　　　　　 C.6　　　　　　　　　　　　　　　 D.12

解析：(a+2b)·(a－3b)=|a|²－|a||b|cos60°－6|b|²=|a|²－2|a|－96=－72，∴|a|²－2|a|－24=0.∴(|a|－6)·(|a|+4)=0.∴|a|=6.

答案：C

1.(2004年全国Ⅰ，3)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于

A.　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　 D.4

解析：|a+3b|====.

答案：C

4.向量数量积的坐标运算：

设a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂)，则

(1)a·b=x₁x₂+y₁y₂；

(2)|a|=；

(3)cos〈a，b〉=；

(4)a⊥ba·b=0x₁x₂+y₁y₂=0.

思考讨论

(a·b)c与a(b·c)是否相等?

●点击双基

3.运算律：(1)a·b=b·a；(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(3)(a+b)·c=a·c+b·c.

2.数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉=θ.

(1)e·a=a·e=|a|cosθ.

(2)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|，特别地，a·a=|a|²，或|a|=.

(3)a⊥ba·b=0.

(4)cosθ=.

(5)|a·b|≤|a||b|.

1.数量积的概念：

(1)向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.

(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.

5.2　 向量的数量积

●知识梳理

4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等.

拓展题例

[例题] 对任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

证明：分三种情况考虑.

(1)当a、b共线且方向相同时，|a|－|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|－|b|=|a－b|＜|a|+|b|.

(2)当a、b共线且方向相反时，∵a－b=a+(－b)，a+b=a－(－b)，利用(1)的结论有||a|－|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|－|b|＜|a－b|=|a|+|b|.

(3)当a，b不共线时，设=a，=b，作=+=a+b，=－=a－b，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|－|b||＜|a±b|＜|a|+|b|.

综上得证.

3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.