5.如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB²+AC²=2(AM²+BM²).

证明：设=m，=b，=c，则m=，m·m=·

=b²+b·c+c²

=AB²+AC²+AB·AC·cos∠BAC

=AB²+AC²+AB·AC·

=AB²+AC²+(AB²+AC²－BC²).

∴AM²=AB²+AC²－BC².

又∵BC²=4BM²，

∴AB²+AC²=2(AM²+BM²).

4.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.

解析：如下图，为使小船所走路程最短，v_水+v_船应与岸垂直.又v_水==1，v_船==，∠ADC=90°，∴∠CAD=45°.

答案：与水速成135°角的

3.在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_______.

解析：如图，AD=DC=20.

∴BD=ADtan60°=20.

∴塔高为20(1+) m.

答案：20(1+) m

2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为

A.0.5 h　　　　　　　　　　　　 B.1 h　　　　　　　　　　　　　 C.1.5 h　　　　　　　　　　　　 D.2 h

解析：台风中心移动t h，城市B处在危险区，则(20t)²+40²－2×20t×40×cos45°≤900.

∴－≤t≤+.∴B城市处在危险区的时间为1 h.

答案：B

1.(2004年辽宁，6)已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·=x²，则点P的轨迹是

A.圆　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.椭圆　　　　　　　　　　　　 C.双曲线　　　　　　　　　　　　　　 D.抛物线

解析：=(－2－x，－y)，=(3－x，－y)，·=(－2－x)(3－x)+(－y)²=x²，整理得y²=x+6.∴P点的轨迹为抛物线.

答案：D

5.(2004年全国Ⅱ，理9)已知平面上直线l的方向向量e=(－，)，点O(0，0)和A(1，－2)在l上的射影分别是和A′，则=λe，其中λ等于

A.　　　　　　　　　　　　　 B.－　　　　　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　　　　　　　　 D.－2

解析：如图所示，令e过原点，与e方向相反，排除A、C，验证D即可.

答案：D

●典例剖析

[例1] 已知a、b是两个非零向量，当a+tb(t∈R)的模取最小值时，

(1)求t的值；

(2)求证：b⊥(a+tb).

剖析：利用|a+tb|²=(a+tb)²进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b·(a+tb)=0，则证得了b⊥(a+tb).

(1)解：设a与b的夹角为θ，则

|a+tb|²=(a+tb)²=|a|²+t²|b|²+2a·(tb)=|a|²+t²|b|²+2t|a||b|cosθ=|b|²(t+cosθ)²+|a|²sin²θ，

所以当t=－cosθ=－=－时，|a+tb|有最小值.

(2)证明：因为b·(a+tb)=b·(a－·b)=a·b－a·b=0，所以b⊥(a⊥tb).

评注：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便.

思考讨论

对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|²=(a+tb)²进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形.读者可尝试用后一方法解答本题.

深化拓展

已知=a，=b，a·b=|a－b|=2，当△AOB面积取最大值时，求a与b的夹角.

解：因为|a－b|²=4，所以a²－2a·b+b²=4.所以|a|²+|b|²=4+2a·b=8，

S_△AOB=·sinθ

=|a||b|

=

=

≤=，

(当且仅当|a|=|b|=2时取等号)

所以当|a|=|b|=2时，△AOB的面积取最大值，这时，cosθ===，所以θ=60°.

[例2] 如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，·=2.

(1)求⊙C的方程；

(2)求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.

剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求⊙C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可.

解：(1)以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy.∵与的夹角为120°，故∠QCM=60°.于是△QCM为正三角形，∠CQM=60°.

又·=2，即||||cos∠CQM=2，于是r=||=2.

故⊙C的方程为x²+y²=4.

(2)依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|，

而|QN|==2，|QM|=2，

于是a=+1，b²=a²－c²=2.

∴所求椭圆的方程为+=1.

评述：平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应引起重视.

●闯关训练

夯实基础

4.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是

A.直角梯形　　　　　　　　　 B.菱形　　　　　　　　　　　　 C.矩形　　　　　　　　　　　　 D.正方形

解析：由·=0知⊥.由=知BCAD.∴四边形ABCD是矩形.

答案：C

3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)、B(－1，3)，若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为

A.3x+2y－11=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(x－1)²+(y－2)²=5

C.2x－y=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.x+2y－5=0

解析：C点满足=α+β且α+β=1，∴A、B、C三点共线.∴C点的轨迹是直线AB.

答案：D

2.将椭圆x²+6y²－2x－12y－13=0按向量a平移，使中心与原点重合，则a的坐标是

A.(－1，1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(1，－1)

C.(－1，－1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(1，1)

解析：椭圆方程变形为(x－1)²+6(y－1)²=20.

需按a=(－1，－1)平移，中心与原点重合.

答案：C

1.若O是△ABC内一点，++=0，则O是△ABC的

A.内心　　　　　　　　　　　　 B.外心　　　　　　　　　　　　 C.垂心　　　　　　　　　　　　 D.重心

解析：以、为邻边作平行四边形OBDC，则=+.

又++=0，

∴+=－.

∴－=.∴O为AD的中点，且A、O、D共线.

又E为OD的中点，∴O是中线AE的三等分点，且OA=AE.

∴O是△ABC的重心.

答案：D