1.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石.

9.已知x＞－1，n≥2且n∈N^*，比较(1+x)ⁿ与1+nx的大小.

解：设f(x)=(1+x)ⁿ－(1+nx)，

则(x)=n(1+x)^n－1－n=n［(1+x)^n－1－1］.

由(x)=0得x=0.

当x∈(－1，0)时，(x)＜0，

f(x)在(－1，0)上递减.

当x∈(0，+∞)时，(x)＞0，

f(x)在(0，+∞)上递增.

∴x=0时，f(x)最小，最小值为0，即f(x)≥0.

∴(1+x)ⁿ≥1+nx.

评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.

●思悟小结

8.设a₁≈，令a₂=1+.

(1)证明介于a₁、a₂之间；

(2)求a₁、a₂中哪一个更接近于；

(3)你能设计一个比a₂更接近于的一个a₃吗？并说明理由.

(1)证明：(－a₁)(－a₂)=(－a₁)· (－1－)=＜0.

∴介于a₁、a₂之间.

(2)解：|－a₂|=|－1－|

=||

=|－a₁|＜|－a₁|.

∴a₂比a₁更接近于.

(3)解：令a₃=1+，

则a₃比a₂更接近于.

由(2)知|－a₃|=|－a₂|＜|－a₂|.

探究创新

7.设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log_3a(1－x)³|与|log_3a(1+x)³|的大小.

解：∵0＜x＜1，∴①当3a＞1，即a＞时，

|log_3a(1－x)³|－|log_3a(1+x)³|

=|3log_3a(1－x)|－|3log_3a(1+x)|

=3［－log_3a(1－x)－log_3a(1+x)］

=－3log_3a(1－x²).

∵0＜1－x²＜1，∴－3log_3a(1－x²)＞0.

②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，

|log_3a(1－x)³|－|log_3a(1+x)³|

=3［log_3a(1－x)+log_3a(1+x)］

=3log_3a(1－x²)＞0.

综上所述，|log_3a(1－x)³|＞|log_3a(1+x)³|.

6.设A=xⁿ+x^－n，B=x^n－1+x^1－n，当x∈R⁺，n∈N时，求证：A≥B.

证明：A－B=(xⁿ+x^－n)－(x^n－1+x^1－n)

=x^－n(x²ⁿ+1－x^2n－1－x)

=x^－n［x(x^2n－1－1)－(x^2n－1－1)］

=x^－n(x－1)(x^2n－1－1).

由x∈R⁺，x^－n＞0，得

当x≥1时，x－1≥0，x^2n－1－1≥0；

当x＜1时，x－1＜0，x²ⁿ－1＜0，即

x－1与x^2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.

培养能力

5.已知a＞2，b＞2，试比较a+b与ab的大小.

解：∵ab－(a+b)=(a－1)(b－1)－1，

又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.

∴(a－1)(b－1)＞1，(a－1)(b－1)－1＞0.

∴ab＞a+b.

4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.

解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.

∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.

答案：(－3，3)

3.已知－1＜2a＜0，A=1+a²，B=1－a²，C=，D=则A、B、C、D按从小到大的顺序排列起来是____________.

解析：取特殊值a=－，计算可得A=，B=，C=，D=.

∴D＜B＜A＜C.

答案：D＜B＜A＜C

2.若p=a+(a＞2)，q=2，则

A.p＞q　　　　　　　　　　　　 B.p＜q　　　　　　　　　　　　 C.p≥q　　　　　　　　　　　　 D.p≤q

解析：p=a－2++2≥4，而－a²+4a－2=－(a－2)²+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.

答案：A

1.(2004年辽宁，2)对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：

①log_a(1+a)＜log_a(1+)；②log_a(1+a)＞log_a(1+)；③a^1+a＜a¹；④a^1+a＞a.其中成立的是

A.①③　　　　　　　　　　　　 B.①④　　　　　　　　　　　　 C.②③　　　　　　　　　　　　 D.②④

解析：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+.

∴log_a(1+a)＞log_a(1+).

又∵0＜a＜1，∴a^1+a＞a.

故②与④成立.

答案：D