3.设a＞0，b＞0，a²+=1，则a的最大值是____________.

解析：a²+=1a²+=.

∴a=·a·≤·=·=.

答案：

2.已知x、y∈R，M=x²+y²+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是

A.M≥N　　　　　　　　　　　 B.M≤N　　　　　　　　　　　 C.M=N　　　　　　　　　　　　 D.不能确定

解析：M－N=x²+y²+1－(x+y+xy)

=［(x²+y²－2xy)+(x²－2x+1)+(y²－2y+1)］

=［(x－y)²+(x－1)²+(y－1)²］≥0.

答案：A

1.设x＞0，y＞0，且xy－(x+y)=1，则

A.x+y≤2+2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.x+y≥2+2

C.x+y≤(+1)² D.x+y≥(+1)²

解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤()².

由xy－(x+y)=1得()²－(x+y)≥1.

∴x+y≥2+2.

答案：B

5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v₁和在静水中的速度v₂的大小关系为____________.

解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v₂，水流速度为v(v₂＞v＞0)，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间

t=+=，

平均速度v₁==.

∵v₁－v₂=－v₂=－＜0，

∴v₁＜v₂.

答案：v₁＜v₂

●典例剖析

[例1] 设a＞0，b＞0，求证：()()≥a+b.

剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.

证法一：左边－右边＝－(+)

＝

＝＝≥0.

∴原不等式成立.

证法二：左边＞0，右边＞0，

＝＝≥＝1.

∴原不等式成立.

评述：用比较法证不等式，一般要经历作差(或商)、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用.

[例2] 已知a、b、x、y∈R⁺且＞，x＞y.

求证：＞.

剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合.

证法一：(作差比较法)

∵－=，

又＞且a、b∈R⁺，

∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.

∴＞0，即＞.

证法二：(分析法)

∵x、y、a、b∈R⁺，∴要证＞，

只需证明x(y+b)＞y(x+a)，即证xb＞ya.

而由＞＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，

知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.

思考讨论

该例若用函数的单调性应如何构造函数?

解法一：令f(x)=，易证f(x)在(0，+∞)上为增函数，从而＞.

再令g(x)=，易证g(x)在(0，+∞)上单调递减.

∵＞，a、b∈R⁺.∴a＜b.

∴g(a)＞g(b)，即＞，命题得证.

解法二：原不等式即为＞，

为此构造函数f(x)=，x∈(0，+∞).

易证f(x)在(0，+∞)上为单调增函数，而＞，

∴＞，即＞.

[例3] 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?

(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.

解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x+6(x－1)+…+6×2+6×1］=9x(x+1).

设平均每天所支付的总费用为y₁元，则y₁=［9x(x+1)+900］+6×1800

=+9x+10809≥2+10809

=10989.

当且仅当9x=，即x=10时取等号，

即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.

(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y₂元，则

y₂=［9x(x+1)+900］+6×1800×0.90

=+9x+9729(x≥35).

令f(x)=x+(x≥35)，

x₂＞x₁≥35，则

f(x₁)－f(x₂)=(x₁+)－(x₂+)

=

∵x₂＞x₁≥35，

∴x₂－x₁＞0，x₁x₂＞0，100－x₁x₂＜0.

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，f(x₁)＜f(x₂)，

即f(x)=x+，当x≥35时为增函数.

∴当x=35时，f(x)有最小值，此时y₂＜10989.∴该厂应该接受此优惠条件.

●闯关训练

夯实基础

4.(理)已知|a+b|＜－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.

其中一定成立的不等式是____________.(把成立的不等式的序号都填上)

解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c.

∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立.

∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|，

∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c.

故④成立，⑤不成立.

答案：①②④

(文)若a、b∈R，有下列不等式：①a²+3＞2a；②a²+b²≥2(a－b－1)；③a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³；④a+≥2.其中一定成立的是__________.

解析：①a²+3－2a=(a－1)²+2＞0，

∴a²+3＞2a；

②a²+b²－2a+2b+2=(a－1)²+(b+1)²≥0，

∴a²+b²≥2(a－b－1)；

③a⁵+b⁵－a³b²－a²b³=a³(a²－b²)+b³(b²－a²)

=(a²－b²)(a³－b³)=(a+b)(a－b)²(a²+ab+b²).

∵(a－b)²≥0，a²+ab+b²≥0，但a+b符号不确定，

∴a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³不正确；

④a∈R时，a+≥2不正确.

答案：①②

3.(2005年春季上海，15)若a、b、c是常数，则“a＞0且b²－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”的

A.充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 必要条件

解析：当a＞0，b²－4ac＜0时，ax²+bx+c＞0.

反之，ax²+bx+c＞0对x∈R成立不能推出a＞0，b²－4ac＜0.

反例：a=b=0，c=2.故选A.

答案：A

2.设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个是

A.a　　　　　　　　　　　　　　　 B.b　　　　　　　　　　　　　　　 C.c　　　　　　　　　　　　　　　 D.不能确定

解析：∵0＜x＜1，

∴1+x＞2=＞.

∴只需比较1+x与的大小.

∵1+x－==－＜0，

∴1+x＜.

答案：C

1.若a、b是正数，则、、、这四个数的大小顺序是

A.≤≤≤

B.≤≤≤

C.≤≤≤

D.≤≤≤

解析：可设a=1，b=2，

则=，=，

=，

===.

答案：C

2.比商法要注意使用条件，若＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.

●点击双基

1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.