4.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正--各项均为正；二定--积或和为定值；三相等--等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.

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教学点睛

3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用.

2.步骤是：作差(商)→变形→判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系.

1.比较法有两种形式：一是作差，二是作商.用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.

9.设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两根x₁、x₂满足1＜x₁＜x₂＜.

(1)当x∈(0，x₁)时，证明x＜f(x)＜x₁；

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x₀对称，求证x₀＜.

证明：(1)令F(x)=f(x)－x，

∵x₁、x₂是方程f(x)－x=0的根，

∴F(x)=a(x－x₁)(x－x₂).

当x∈(0，x₁)时，由于x₁＜x₂，

∴(x－x₁)(x－x₂)＞0.

又a＞0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)＞0，

即x＜f(x).

又x₁－f(x)=x₁－［x+F(x)］=x₁－x+a(x₁－x)(x－x₂)=(x₁－x)［1+a(x－x₂)］，

∵0＜x＜x₁＜x₂＜，x₁－x＞0，

1+a(x－x₂)=1+ax－ax₂＞1－ax₂＞0，

∴x₁－f(x)＞0，即f(x)＜x₁.

综上，可知x＜f(x)＜x₁.

(2)由题意知x₀=－.

∵x₁、x₂是方程f(x)－x=0的根，

即x₁、x₂是方程ax²+(b－1)x+c=0的根，

∴x₁+x₂=－.

∴x₀=－==.

又∵ax₂＜1，∴x₀＜=.

●思悟小结

8.有点难度哟！

求证：在非Rt△ABC中，若a＞b，h_a、h_b分别表示a、b边上的高，则必有a+h_a＞b+h_b.

证明：设S表示△ABC的面积，则

S=ah_a=bh_b=absinC.

∴h_a=bsinC，h_b=asinC.

∴(a+h_a)－(b+h_b)=a+bsinC－b－asinC

=(a－b)(1－sinC).

∵C≠，∴1－sinC＞0.

∴(a－b)(1－sinC)＞0.

∴a+h_a＞b+h_b.

探究创新

7.已知x＞0，y＞0，若不等式+≤m恒成立，求实数m的最小值.

分析：∵+≤m恒成立，

∴m≥恒成立.

∴m的最小值就是的最大值.

解：∵+≤m恒成立，

∴m≥恒成立.

∵x＞0，y＞0，

∴≥=.

∴≤=.

∴m的最小值为.

评述：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段.

6.已知a＞1，λ＞0，求证：log_a(a+λ)＞log_a+λ(a+2λ).

证明：log_a(a+λ)－log_(a+λ)(a+2λ)

=－

=

∵a＞1，λ＞0，

∴lga＞0，lg(a+2λ)＞0，且lga≠lg(a+2λ).

∴lga·lg(a+2λ)＜［()］²

=［］²＜［］²=lg²(a+λ).

∴＞0.

∴log_a(a+λ)＞log_(a+λ)(a+2λ).

培养能力

5.当m＞n时，求证：m³－m²n－3mn²＞2m²n－6mn²+n³．

证明：∵(m³－m²n－3mn²)－(2m²n－6mn²+n³)＝m³－3m²n+3mn²－n³＝(m－n)³，

又m＞n，∴m－n＞0.∴(m－n)³＞0，

即(m³－m²n－3mn²)－(2m²n－6mn²+n³)＞0.

故m³－m²n－3mn²＞2m²n－6mn²+n³．

4.若记号“※”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即a※b=，则两边均含有运算符号“※”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是____________.

解析：∵a※b=，b※a=，

∴a※b+c=b※a+c.

答案：a※b+c=b※a+c.

思考：对于运算“※”分配律成立吗?

即a※(b+c)=a※b+a※c.

答案：不成立