2.(2004年浙江，理4)曲线y²=4x关于直线x=2对称的曲线方程是

A.y²=8－4x　　　　　　　　　　　　　 B.y²=4x－8

C.y²=16－4x　　　　　　　　　　　　　 D.y²=4x－16

解析：设曲线y²=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P(x，y)，则P(x，y)关于直线x=2的对称点为Q(4－x，y).因为Q(4－x，y)在曲线y²=4x上，

所以y²=4(4－x)，即y²=16－4x.

答案：C

1.已知点M(a，b)与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为

A.(a，b)　　　　　　 　　　　　　B.(b，a)

C.(－a，－b)　　　　　　　　　　 D.(－b，－a)

解析：N(a，－b)，P(－a，－b)，则Q(b，a)．

答案：B

4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：

(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)；

(2)点(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)；

(3)点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)；

(4)点(x，y)关于直线x－y=0的对称点为(y，x)；

(5)点(x，y)关于直线x+y=0的对称点为(－y，－x).

●点击双基

3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化).一般结论如下：

(1)曲线f(x，y)=0关于已知点A(a，b)的对称曲线的方程是f(2a－x，2b－y)=0.

(2)曲线f(x，y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：

设曲线f(x，y)=0上任意一点为P(x₀，y₀)，P点关于直线y=kx+b的对称点为P′(y，x)，则由(2)知，P与P′的坐标满足

=k·+b，

代入已知曲线f(x，y)=0，应有f(x₀，y₀)=0.利用坐标代换法就可求出曲线f(x，y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.

2.点关于直线成轴对称问题

由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：

设点P(x₀，y₀)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′，y′)，则有

=k·+b，

特殊地，点P(x₀，y₀)关于直线x=a的对称点为P′(2a－x₀，y₀)；点P(x₀，y₀)关于直线y=b的对称点为P′(x₀，2b－y₀).

1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.

设P(x₀，y₀)，对称中心为A(a，b)，则P关于A的对称点为P′(2a－x₀，2b－y₀).

7.3　 对称问题

●知识梳理

2.在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l₁：A₁x+B₁y+C₁=0，l₂：A₂x+B₂y+C₂=0.

(1)l₁∥l₂=≠

　 A₁B₂=A₂B₁，

A₁C₂≠A₂C₁.

(2)l₁与l₂相交≠

A₁B₂≠A₂B₁.

(3)l₁与l₂重合==

　 A₁B₂=A₂B₁，

A₁C₂=A₂C₁.

(4)l₁⊥l₂A₁A₂+B₁B₂=0.

拓展题例

[例1] 当0<a<2时，直线l₁：ax－2y=2a－4，直线l₂：2x+a²y=2a²+4与坐标轴围成一个四边形，求使该四边形面积最小时a的值.

解：直线l₁交y轴于A(0，2－a)，直线l₂交x轴于C(a²+2，0)，l₁与l₂交于点B(2，2).

则四边形AOCB的面积为S=S_△AOB+S_△OCB=·(2－a)·2+(a²+2)·2=a²－a+4=(a－)²+，

当a=时，S最小.

因此使四边形面积最小时a的值为.

[例2] 已知n条直线l₁：x－y+C₁=0，C₁=，l₂：x－y+C₂=0，l₃：x－y+C₃=0，…，l_n：x－y+C_n=0(其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n)，这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n.

(1)求C_n；

(2)求x－y+C_n=0与x轴、y轴围成的图形的面积；

(3)求x－y+C_n－1=0与x－y+C_n=0及x轴、y轴围成图形的面积.

解：(1)原点O到l₁的距离为1，原点O到l₂的距离为1+2，……原点O到l_n的距离d_n为1+2+…+n=.

∵C_n=d_n，

∴C_n=.

(2)设直线l_n：x－y+C_n=0交x轴于M，交y轴于N，则△OMN面积

S_{△O MN=}|OM|·|ON|=C_n²=.

(3)所围成的图形是等腰梯形，由(2)知S_n=，则有S_n－1=.

∴S_n－S_n－1=－=n³.

∴所求面积为n³.

1.两条直线的位置关系的有关内容是本章学习的重点，在整个解析几何的学习中占有重要地位.这部分内容是用代数方法研究几何图形的具体应用.

3.点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容.

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