7.若抛物线y=2x²上的两点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)关于直线y=x+m对称且x₁x₂=－，求m的值.

解：设直线AB的方程为y=－x+b，代入y=2x²得2x²+x－b=0，

∴x₁+x₂=－，x₁x₂==－.

∴b=1，即AB的方程为y=－x+1.

设AB的中点为M(x₀，y₀)，则

x₀==－，代入y₀=－x₀+1，

得y₀=.又M(－，)在y=x+m上，

∴=－+m.∴m=.

6.求函数y=+的最小值.

解：因为y=+，

所以函数y是x轴上的点P(x，0)与两定点A(0，3)、B(4，3)距离之和.

y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.

由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A ′(0，－3)，

则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|，

即=4.

所以y_min=4.

5.已知△ABC的一个顶点A(－1，－4)，∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l₁：y+1=0，l₂：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.

解：设点A(－1，－4)关于直线y+1=0的对称点为A′(x₁，y₁)，则x₁=－1，y₁=2×(－1)－(－4)=2，即A′(－1，2).

在直线BC上，再设点A(－1，－4)关于l₂：x+y+1=0的对称点为A″(x₂，y₂)，则有

×(－1)=－1，

++1=0.

y₂=0，

即A″(3，0)也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程.

培养能力

4.直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)、B(3，4)的距离之差最大，则P点的坐标是____________.

解析：易知A(4，－1)、B(3，4)在直线l：2x－y－4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A₁(0，1)，当A₁、B、P共线时距离之差最大.

答案：(5，6)

3.两直线y=x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是____________.

解析：l上的点为到两直线y=x与x=1距离相等的点的集合，即=｜x－1｜，化简得x+y－2=0或3x－y－2=0.

答案：x+y－2=0或3x－y－2=0

2.与直线x+2y－1=0关于点(1，－1)对称的直线方程为

A.2x－y－5=0　　　　　　　　　　　　 B.x+2y－3=0

C.x+2y+3=0　　　　　　　　　　　　　 D.2x－y－1=0

解析：将x+2y－1=0中的x、y分别代以2－x，－2－y，得(2－x)+2(－2－y)－1=0，即x+2y+3=0.故选C.

答案：C

1.(2004年全国卷Ⅱ，4)已知圆C与圆(x－1)²+y²=1关于直线y=－x对称，则圆C的方程为

A.(x+1)²+y²=1　　　　　　　　　　 B.x²+y²=1

C.x²+(y+1)²=1　　　　　　　　　　 D.x²+(y－1)²=1

解析：由M(x，y)关于y=－x的对称点为(－y，－x)，

即得x²+(y+1)²=1.

答案：C

5.设直线x+4y－5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y－3=0对称的直线的倾斜角是____________.

解析：数形结合.

答案：π－θ

●典例剖析

[例1] 求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.

剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：(1)若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；(2)若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；(3)a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.

3x+4y－1=0，　　

方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－.

则=.

解得k=－.

代入点斜式得直线b的方程为

y－(－2)=－(x－3)，

即2x+11y+16=0.

方法二：在直线a：2x+y－4=0上找一点A(2，0)，设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x₀，y₀)，

=，

解得B(，－).

由两点式得直线b的方程为

=，

即2x+11y+16=0.

方法三：设直线b上的动点P(x，y)关于l：3x+4y－1=0的对称点Q(x₀，y₀)，则有

3×+4×－1=0，

=.

解得x₀=，y₀=.

Q(x₀，y₀)在直线a：2x+y－4=0上，

则2×+－4=0，

化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.

方法四：设直线b上的动点P(x，y)，直线a上的点Q(x₀，4－2x₀)，且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有

=，

=.

消去x₀，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0(舍).

评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.

[例2] 光线从点A(－3，4)发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点　　　　　 B(－2，6)，求射入y轴后的反射线的方程.

剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.

解：∵A(－3，4)关于x轴的对称点A₁(－3，－4)在经x轴反射的光线上，

同样A₁(－3，－4)关于y轴的对称点A₂(3，－4)在经过射入y轴的反射线上，

∴k==－2.

故所求直线方程为y－6=－2(x+2)，

即2x+y－2=0.

评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.

[例3] 已知点M(3，5)，在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小.

剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M₁，再作点M关于y轴的对称点M₂，连结MM₁、MM₂，连线MM₁、MM₂与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小.

解：由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点M₁(5，1).同样容易求得点M关于y轴的对称点M₂(－3，5).

据M₁及M₂两点可得到直线M₁M₂的方程为x+2y－7=0.

得交点P(，).

x－2y+2=0，

故点P(，)、Q(0，)即为所求.

评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.

深化拓展　　

恰当地利用平面几何的知识解题.

不妨再试试这个小题：已知点A(1，3)、B(5，2)，在x轴上找一点P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P点的坐标为____________.

答案：　 (，0)

●闯关训练

夯实基础

4.点A(4，5)关于直线l的对称点为B(－2，7)，则l的方程为____________.

解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.

答案：3x－y+3=0

3.已知直线l₁：x+my+5=0和直线l₂：x+ny+p=0，则l₁、l₂关于y轴对称的充要条件是

A.=

B.p=－5

C.m=－n且p=－5

D.=－且p=－5

解析：直线l₁关于y轴对称的直线方程为(－x)+my+5=0，即x－my－5=0，与l₂比较，

∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立.

答案：C