6.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?

解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米食y(百克)，

所需费用为S=0.5x+0.4y，且x、y满足

6x+3y≥8，

4x+7y≥10，

x≥0，

y≥0，

由图可知，直线y=－x+S过A(，)时，纵截距S最小，即S最小.

故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少.

培养能力

5.画出以A(3，－1)、B(－1，1)、C(1，3)为顶点的△ABC的区域(包括各边)，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值.

分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式--不等式组；　　 ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.

解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域.

直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0.

在△ABC内取一点P(1，1)，分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0.

因此所求区域的不等式组为

x+2y－1≥0，

x－y+2≥0，

2x+y－5≤0.

作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t(t为参数)，即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=x－t过A(3，－1)时，纵截距－t最小.此时t最大，t_max=3×3－2×　　　 (－1)=11；

当直线y=x－t经过点B(－1，1)时，纵截距－t最大，此时t有最小值为t_min=　　　 3×(－1)－2×1=－5.

因此，函数z=3x－2y在约束条件

x－y+2≥0，

2x+y－5≤0

3.(2004年全国卷Ⅱ，14)设x、y满足约束条件

x≥0，

x≥y，

2x－y≤1，则z=3x+2y的最大值是____________.

解析：如图，当x=y=1时，z_max=5.

答案：5

设z=，则z的最小值为_______，最大值为

x≥1，

_________.

解析：作出可行域，如图.当把z看作常数时，它表示直线y=zx的斜率，因此，当直线y=zx过点A时，z最大；当直线y=zx过点B时，z最小．

3x+5y－25＝0，得A(1，).

3x+5y－25=0，　

∴z_max＝＝，z_min＝．

答案：　

2.(x+2y+1)(x－y+4)≤0表示的平面区域为

解析：可转化为

x－y+4≤0　　　　 x－y+4≥0.

答案：B

1.(x－1)²+(y－1)²=1是｜x－1｜+｜y－1｜≤1的__________条件.

A.充分而不必要　　　　　　　　　　　 B.必要而不充分

C.充分且必要　　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要

解析：数形结合.

答案：B

5.不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有____________个.

解析：(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个.

答案：3

●典例剖析

[例1] 求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.

剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.

解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为

y≥1，　　　 y≤1，　　　　 y≥1，　　　 　　y≤1，

x+y ≤4　　　 x－y ≤2　　　 y－x ≤2　　 　　x+y≥0.

其平面区域如图.

∴面积S=×4×4=8.

评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.

深化拓展

若再求：①；②的值域，你会做吗？

答案： ①(－∞，－］∪［，+∞)；②［1，5］.

[例2] 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h(4≤v≤20)从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h.

(1)作图表示满足上述条件的x、y范围；

(2)如果已知所需的经费

p=100+3×(5－x)+2×(8－y)(元)，

那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?

剖析：由p=100+3×(5－x)+2×(8－y)可知影响花费的是3x+2y的取值范围.

解：(1)依题意得v=，w=，4≤v≤20，30≤w≤100.

∴3≤x≤10，≤y≤.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤14.②

因此，满足①②的点(x，y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).

(2)∵p=100+3·(5－x)+2·(8－y)，

∴3x+2y=131－p.

设131－p=k，那么当k最大时，p最小.在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10，4)，即当x=10，y=4时，p最小.

此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元.

评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.

[例3] 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?

剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.

解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

x+y≤9，

10×6x+6×8x≥360，

0≤x≤4，

0≤y≤7.

z=252x+160y，

其中x、y∈N.

作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.

作出直线l₀：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点(2，5)时，满足上述要求.

此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，z_min=252×2+160×5=1304.

答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.

评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f(x，y)=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.

●闯关训练

夯实基础

4.点(－2，t)在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是________________.

解析：(－2，t)在2x－3y+6=0的上方，则2×(－2)－3t+6＜0，解得t＞.

答案：t＞

2.(2005年海淀区期末练习题)设动点坐标(x，y)满足

x≥3，　　　　 　　　　

A.　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　　　 D.10

解析：数形结合可知当x=3，y=1时，x²+y²的最小值为10.

答案：D

x－2y－1≤0，

x+y≤1　　　　

A.正三角形及其内部

B.等腰三角形及其内部

C.在第一象限内的一个无界区域

D.不包含第一象限内的点的一个有界区域

解析：将(0，0)代入不等式组适合C，不对；将(，)代入不等式组适合D，不对；又知2x－y+1=0与x－2y－1=0关于y=x对称且所夹顶角α满足

tanα==.

∴α≠.

答案：B

1.下列命题中正确的是

A.点(0，0)在区域x+y≥0内

B.点(0，0)在区域x+y+1<0内

C.点(1，0)在区域y>2x内

D.点(0，1)在区域x－y+1>0内

解析：将(0，0)代入x+y≥0，成立.

答案：A

2.线性规划

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.

线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：

(1)根据题意，设出变量x、y；

(2)找出线性约束条件；

(3)确定线性目标函数z=f(x，y)；

(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)；

(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x，y)=t(t为参数)；

(6)观察图形，找到直线f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.

●点击双基