9.(2005年黄冈市调研考试题)如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：

若=xe₁+ye₂(其中e₁、e₂分别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，则P点斜坐标为(x，y).

(1)若P点斜坐标为(2，－2)，求P到O的距离|PO|；

(2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.

解：(1)∵P点斜坐标为(2，－2)，

∴=2e₁－2e₂.

∴||²=(2e₁－2e₂)²=8－8e₁·e₂=8－8×cos60°=4.

∴||=2，即|OP|=2.

(2)设圆上动点M的斜坐标为(x，y)，则=xe₁+ye₂.

∴(xe₁+ye₂)²=1.

∴x²+y²+2xye₁·e₂=1.

∴x²+y²+xy=1.

故所求方程为x²+y²+xy=1.

●思悟小结

8.(文)求过两点A(1，4)、B(3，2)，且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M₁(2，3)，M₂(2，4)与圆的位置关系.

解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.

因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由k_AB==－1，

AB的中点为(2，3)，

故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，

即x－y+1=0.

又圆心在直线y=0上，

因此圆心坐标是方程组

y=0　　　

半径r==，

所以得所求圆的标准方程为(x+1)²+y²=20.

因为M₁到圆心C(－1，0)的距离为=，|M₁C|<r，所以M₁在圆C内；而点M₂到圆心C的距离|M₂C|==>，所以M₂在圆C外.

(理)已知动圆M：x²+y²－2mx－2ny+m²－1=0与圆N：x²+y²+2x+2y－2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周.

(1)求动圆M的圆心的轨迹方程；

(2)求半径最小时圆M的方程.

解：(1)如图所示(坐标系省略了)，圆心N(－1，－1)为弦AB的中点，在Rt△AMN中，

|AM|²=|AN|²+|MN|²，

∴(m+1)²=－2(n+2).(*)

故动圆圆心M的轨迹方程为(x+1)²=－2(y+2).

(2)由(*)式，知(m+1)²=－2(n+2)≥0，

于是有n≤－2.

而圆M半径r=≥，

∴当r=时，n=－2，m=－1，所求圆的方程为(x+1)²+(y+2)²=5.

探究创新

7.已知实数x、y满足方程x²+y²－4x+1=0.求

(1)的最大值和最小值；

(2)y－x的最小值；

(3)x²+y²的最大值和最小值.

解：(1)如图，方程x²+y²－4x+1=0表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆.

设=k，即y=kx，由圆心(2，0)到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，

解得k²=3.

所以k_max=，k_min=－.

(也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之)

(2)设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得

=，即b=－2±，

故(y－x)_min=－2－.

(3)x²+y²是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x²+y²)_max=｜OC′｜=2+，

(x²+y²)_min=｜OB｜=2－.

6.已知实数x、y满足x²+y²+2x－2y=0，求x+y的最小值.

解：原方程为(x+1)²+(y－)²=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为

(θ为参数，0≤θ<2π)，则x+y=－1+2(sinθ+cosθ)=－+1

y=+2sinθ

2sin(θ+)，当θ=，即x=－1－，y=－时，x+y的最小值为－1－2.

培养能力

5.(2005年启东市调研题)设O为坐标原点，曲线x²+y²+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.

(1)求m的值；

(2)求直线PQ的方程.

解：(1)曲线方程为(x+1)²+(y－3)²=9表示圆心为(－1，3)，半径为3的圆.

∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，

∴圆心(－1，3)在直线上.代入得m=－1.

(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，PQ方程为y=－x+b.

将直线y=－x+b代入圆方程，得2x²+2(4－b)x+b²－6b+1=0.

Δ=4(4－b)²－4×2×(b²－6b+1)>0，得2－3<b<2+3.

由韦达定理得x₁+x₂=－(4－b)，x₁·x₂=.

y₁·y₂=b²－b(x₁+x₂)+x₁·x₂=+4b.

∵·=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，

即b²－6b+1+4b=0.

解得b=1∈(2－3，2+3).

∴所求的直线方程为y=－x+1.

4.(2004年全国卷Ⅲ，16)设P为圆x²+y²=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.

解析：圆心(0，0)到直线3x－4y－10=0的距离d==2.

再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.

答案：1

3.(2005年黄冈市调研题)圆x²+y²+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.

解析：圆心(－，3)在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.

答案：2

2.(2004年全国Ⅱ，8)在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有

A.1条　　　　　　 B.2条　　　　　　 C.3条　　　　 　　　D.4条

解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.

答案：B

1.方程x²+y²+Dx+Ey+F＝0(D²+E²－4F＞0)表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则

A.D+E=0B.　　　　　　　　　　　　　 B.D+F=0

C.E+F=0　　　　　　　　　　　　　　 D. D+E+F=0

解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.

答案：A

5.已知P(1，2)为圆x²+y²=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为____________.

解析：Rt△OMC中，|MP|=|BC|(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半).

故所求轨迹方程为x²+y²－x－2y－2=0.

答案：x²+y²－x－2y－2=0

●典例剖析

[例1] (2003年春季北京)设A(－c，0)、B(c，0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹.

剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.

解：设动点P的坐标为(x，y)，由=a(a>0)得=a，化简，得

(1－a²)x²+2c(1+a²)x+c²(1－a²)+(1－a²)y²=0.

当a=1时，方程化为x=0.

当a≠1时，方程化为(x－c)²+y²=()².

所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；

当a≠1时，点P的轨迹是以点(c，0)为圆心，||为半径的圆.

评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.

[例2] 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.

剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.

解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为(x－3b)²+(y－b)²=9b².

又因为直线y=x截圆得弦长为2，

则有()²+()²=9b²，

解得b=±1.故所求圆方程为

(x－3)²+(y－1)²=9或(x+3)²+(y+1)²=9.

评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F；(3)待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.

[例3] 已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.

剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？

解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.

设动圆圆心为M(x，y)，

⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.

∵AB为⊙O的直径，

∴MO垂直平分AB于O.

由勾股定理得|MA|²=|MO|²+|AO|²=x²+y²+9，而|MC|=|y+3|，

∴=|y+3|.

化简得x²=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.

评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”.

●闯关训练

夯实基础