1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.

①Δ＞0，直线和圆相交.

②Δ=0，直线和圆相切.

③Δ＜0，直线和圆相离.

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.

①d＜R，直线和圆相交.

②d=R，直线和圆相切.

③d＞R，直线和圆相离.

7.6　 直线与圆的位置关系

●知识梳理

直线和圆

5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握.

拓展题例

[例1] 圆x²+y²=1内有一定点A(，0)，圆上有两点P、Q，若∠PAQ=90°，求过点P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程.

分析：先求出PQ中点E的轨迹方程为x²+y²－x－=0.

再求切点弦PQ所在直线的方程.

解：设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则过P、Q的切线方程分别是

x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1.

又M(m，n)在这两条切线上，有mx₁+ny₁=1，mx₂+ny₂=1，

∵P、Q两点的坐标满足方程mx+ny=1，又两点确定唯一一条直线，

∴PQ所在直线的方程是mx+ny=1.

又∵E为直线OM与PQ之交点，解方程组

mx+ny=1

y=x

x=，y=.

将(，)代入中点E的轨迹方程得x²+y²+x－=0.

这就是要求的过P、Q两点的切线交点M的轨迹方程.

[例2] 如图，过原点的动直线交圆x²+(y－1)²=1于点Q，在直线OQ上取点P，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求动直线绕原点转一周时P点的轨迹方程.

解：设P(x，y)，圆O₁：x²+(y－1)²=1与直线y=2切于点A，连结AQ，易知|AQ|=|AR|=|x|，

又|PQ|=|PR|=2－y，

∴在Rt△OQA中，|OA|²=|AQ|²+|OQ|²，

即2²=|x|²+［－(2－y)］²，

化简整理得x²(x²+y²－4)=0，

∴x=0或x²+y²=4为所求的轨迹方程.

4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.

3.在一般方程中，当D²+E²－4F=0时，方程表示一个点(－，－)，当D²+E²－4F<0时，无轨迹.

2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.

1.在二元二次方程中x²和y²的系数相等并且没有x、y项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.

3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.

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教学点睛

2.求圆的方程的一般步骤：

(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程)；

(2)根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；

(3)解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.

1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.