3.(2005年春季北京，11)若圆x²+y²+mx－=0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为____________.

解析：圆方程配方得(x+)²+y²=，圆心为(－，0).

由条件知－<0，即m>0.

又圆与直线y=－1相切，则0－(－1)=，即m²=3，∴m=.

答案：

2.(2003年春季北京)已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x²+y²=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形

A.是锐角三角形　　　　　　　　　　　 B.是直角三角形

C.是钝角三角形　　　　　　　　　　　 D.不存在

解析：由题意得=1，即c²=a²+b²，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形.

答案：B

1.若圆(x－3)²+(y+5)²＝r²上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是

A.(4，6)　 　　　B.［4，6)　 　　　　C.(4，6］　 　　　　D.［4，6］

解析：数形结合法解.

答案：A

5.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.

解析：利用数形结合.

答案：－1＜k≤1或k=－

●典例剖析

[例1] 已知圆x²+y²+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.

剖析：由于OP⊥OQ，所以k_OP·k_OQ=－1，问题可解.

解：将x=3－2y代入方程x²+y²+x－6y+m=0，得5y²－20y+12+m=0.

设P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，则y₁、y₂满足条件

y₁+y₂=4，y₁y₂=.

∵OP⊥OQ，∴x₁x₂+y₁y₂=0.

而x₁=3－2y₁，x₂=3－2y₂，

∴x₁x₂=9－6(y₁+y₂)+4y₁y₂.

∴m=3，此时Δ＞0，圆心坐标为(－，3)，半径r=.

评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.

[例2] 求经过两圆(x+3)²+y²=13和x²+(y+3)²=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.

剖析：根据已知，可通过解方程组

x²+(y+3)²=37　

由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；

也可根据已知，设所求圆的方程为(x+3)²+y²－13+λ［x²+(y+3)²－37］=0，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程.

解：因为所求的圆经过两圆(x+3)²+y²=13和x²+(y+3)²=37的交点，

所以设所求圆的方程为(x+3)²+y²－13+λ［x²+(y+3)²－37］=0.

展开、配方、整理，得(x+)²+(y+)²=+.

圆心为(－，－)，代入方程x－y－4=0，得λ=－7.

故所求圆的方程为(x+)²+(y+)²= .

评述：圆C₁：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0，圆C₂：x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0，若圆C₁、C₂相交，那么过两圆公共点的圆系方程为(x²+y²+D₁x+E₁y+F₁)+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(λ∈R且λ≠－1).它表示除圆C₂以外的所有经过两圆C₁、C₂公共点的圆.

特别提示　　

在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程.

[例3] 已知圆C：(x－1)²+(y－2)²＝25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R).

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.

(1)证明：l的方程(x+y－4)+m(2x+y－7)=0.

x+y－4=0，　　　 y=1，

即l恒过定点A(3，1).

∵圆心C(1，2)，｜AC｜＝＜5(半径)，

∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.

(2)解：弦长最小时，l⊥AC，由k_AC＝－，

∴l的方程为2x－y－5=0.

评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论　　

求直线过定点，你还有别的办法吗？

●闯关训练

夯实基础

4.(2004年上海，理8)圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C的方程为____________.

解析：∵圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，

∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上.

又已知圆心在直线2x－y－7=0上，

2x－y－7=0.　　

∴圆心为(2，－3)，

半径r=|AC|==.

∴所求圆C的方程为(x－2)²+(y+3)²=5.

答案：(x－2)²+(y+3)²=5

3.(2004年全国卷Ⅲ，4)圆x²+y²－4x=0在点P(1，)处的切线方程为

A.x+y－2=0　　　　　　　　　　　 B.x+y－4=0

C.x－y+4=0　　　　　　　　　　　 D.x－y+2=0

解法一：

x²+y²－4x=0

y=kx－k+

x²－4x+(kx－k+)²=0.

该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k=.

∴y－=(x－1)，即x－y+2=0.

解法二：∵点(1，)在圆x²+y²－4x=0上，

∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.

又∵圆心为(2，0)，∴·k=－1.

解得k=，∴切线方程为x－y+2=0.

答案：D

2.圆x²+y²－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于

A.　 　　　　　B.　　 　　　　C.1　 　　　　　　　D.5

解析：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=.

答案：A

1.(2005年北京海淀区期末练习题)设m>0，则直线(x+y)+1+m=0与圆x²+y²=m的位置关系为

A.相切　　　　　　 　　　　　　　　　B.相交

C.相切或相离　　　　　　　　　　　　 D.相交或相切

解析：圆心到直线的距离为d=，圆半径为.

∵d－r=－=(m－2+1)=(－1)²≥0，

∴直线与圆的位置关系是相切或相离.

答案：C

3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.

●点击双基

2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.