2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.

1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.

2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.

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教学点睛

1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.

9.已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.

解：设点P的坐标为(x，y)，

由题设有=，

即=·，

整理得x²+y²－6x+1=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

因为点N到PM的距离为1，|MN|=2，

所以∠PMN=30°，直线PM的斜率为±.

直线PM的方程为y=±(x+1).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

将②代入①整理得x²－4x+1=0.

解得x₁=2+，x₂=2－.

代入②得点P的坐标为(2+，1+)或(2－，－1+)；(2+，－1－)或(2－，1－).

直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1.

●思悟小结

8.(文)求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x+3y－26=0相切于(8，6)的圆的方程.

解：设圆为x²+y²+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组

3D－E=－36，

2D+4E－F=20，

8D+6E+F=－100.

E=3，

F=－30.

∴圆的方程为x²+y²－11x+3y－30=0.

(理)已知点P是圆x²+y²=4上一动点，定点Q(4，0).

(1)求线段PQ中点的轨迹方程；

(2)设∠POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.

解：(1)设PQ中点M(x，y)，则P(2x－4，2y)，代入圆的方程得(x－2)²+y²=1.

(2)设R(x，y)，由==，

设P(m，n)，则有

m=，

n=，

代入x²+y²=4中，得

(x－)²+y²=(y≠0).

探究创新

7.方程ax²+ay²－4(a－1)x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.

解：(1)∵a≠0时，方程为［x－］²+(y+)²=，

由于a²－2a+2＞0恒成立，

∴a≠0且a∈R时方程表示圆.

(2)r²=4·=4［2(－)²+］，

∴a=2时，r_min²=2.

此时圆的方程为(x－1)²+(y－1)²=2.

6.已知M(x₀，y₀)是圆x²+y²=r²(r>0)内异于圆心的一点，则直线x₀x+y₀y=r²与此圆有何种位置关系?

分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.

解：圆心O(0，0)到直线x₀x+y₀y=r²的距离为d=.

∵P(x₀，y₀)在圆内，∴<r.

则有d>r，故直线和圆相离.

培养能力

5.自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x²+y²－4x－4y+7＝0相切，求光线l所在直线的方程.

解：圆(x－2)²+(y－2)²＝1关于x轴的对称方程是(x－2)²+(y+2)²＝1.

设l方程为y－3＝k(x+3)，由于对称圆心(2，－2)到l距离为圆的半径1，从而可得k₁＝－，k₂＝－．故所求l的方程是3x+4y－3＝0或4x+3y+3＝0.

4.(2004年福建，13)直线x+2y=0被曲线x²+y²－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.

解析：由x²+y²－6x－2y－15=0，得(x－3)²+(y－1)²=25.

知圆心为(3，1)，r=5.

由点(3，1)到直线x+2y=0的距离d==.

可得弦长为2，弦长为4.

答案：4