4.以椭圆 +=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为___________.

解析：中心为(0，0)，左准线为x=－，所求抛物线方程为y²= x.又椭圆右准线方程为x=，联立解得A(，)、B(，－).

∴|AB|=.

答案：

3.以抛物线y²＝2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为

A.相交　　　　　　　　　　　　　　　 B.相离

C.相切　　　　　　　　　　　　　　　 D.不确定

解析：利用抛物线的定义.

答案：C

2.设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax²的焦点坐标为

A.(a，0)　　　　　　　　　　　　　 B.(0，a)

C.(0，)　　　　　　　　　　　　 D.随a符号而定

解析：化为标准方程.

答案：C

1.(2004年春季北京)在抛物线y²=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为

A.　　　　　　　 B.1　　　　　　　 C.2　　　　　　　　　 D.4

解析：抛物线的准线方程为x=－，由抛物线的定义知4+=5，解得P=2.

答案：C

8.3　 抛物线

●知识梳理

定义	到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹
方程	1.y2=2px(p≠0)，焦点是F(，0) 2.x2=2py(p≠0)，焦点是F(0，)
性质	S：y2=2px(p＞0) 1.范围：x≥0 2.对称性：关于x轴对称 3.顶点：原点O 4.离心率：e=1 5.准线：x=－ 6.焦半径P(x，y)∈S，|PF|=x+

思考讨论　　

对于抛物线x²=2py(p＞0)，其性质如何？焦半径公式如何推导？

●点击双基

5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是±=0，则可把双曲线方程表示为－=λ(λ≠0)，再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程.

拓展题例

[例1] 已知双曲线－=1的离心率e>1+，左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项?

解：设在左支上存在P点，使|PF₁|²=|PF₂|·d，由双曲线的第二定义知

==e，即|PF₂|=e|PF₁|.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

再由双曲线的第一定义，得|PF₂|－|PF₁|=2a.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②，解得|PF₁|=，|PF₂|=，

∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，

∴+≥2c.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

利用e=，由③得e²－2e－1≤0，

解得1－≤e≤1+.

∵e>1，

∴1<e≤1+与已知e>1+矛盾.

∴在双曲线的左支上找不到点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项.

[例2] 设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为，且点P(0，5)到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.

分析：由双曲线中心在原点，准线平行于x轴，可设双曲线的方程为－=1.

由离心率为，可得a²+b²=(a)²=c².

由点P(0，5)到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大(小)值问题来讨论，得到a、b应满足的另一关系式.从而求出a²、b²，本题得解.

解：依题意，设双曲线的方程为－=1(a>0，b>0).

∵e==，c²=a²+b²，∴a²=4b².

设M(x，y)为双曲线上任一点，则

|PM|²=x²+(y－5)²

=b²(－1)+(y－5)²

=(y－4)²+5－b²(|y|≥2b).

①若4≥2b，则当y=4时，

|PM|_min²=5－b²=4，得b²=1，a²=4.

从而所求双曲线方程为－x²=1.

②若4<2b，则当y=2b时，

|PM|_min²=4b²－20b+25=4，

得b=(舍去b=)，b²=，a²=49.

从而所求双曲线方程为－=1.

4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.

3.参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c²=a²+b²；在方程Ax²+By²=C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程.

2.双曲线的定义用代数式表示为||MF₁|－|MF₂||=2a，其中2a＜|F₁F₂|，这里要注意两点：

(1)距离之差的绝对值.

(2)2a＜|F₁F₂|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.

当|MF₁|－|MF₂|=2a时，曲线仅表示焦点F₂所对应的一支；

当|MF₁|－|MF₂|=－2a时，曲线仅表示焦点F₁所对应的一支；

当2a=|F₁F₂|时，轨迹是一直线上以F₁、F₂为端点向外的两条射线；

当2a＞|F₁F₂|时，动点轨迹不存在.

1.双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如下图)，它的三边长分别是a、b、c.易见c²=a²+b²，若记∠AOB=θ，则e==.