3.数学求解.根据所建立数学关系的知识系统，解出结果，从而得到实际问题的解答.

本节就是通过圆锥曲线在现实生活中的应用，培养学生解决应用问题的能力.

拓展题例

[例1] 一摩托车手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12°，飞跃的水平距离是35 m，为了安全，摩托车在最高点与落地点的垂直落差约10 m，那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？(单位是 km/h，精确到个位)

(参考数据：sin12°=0.2079，cos12°=0.9781，tan12°=0.2125)

分析：本题的背景是物理中的运动学规律，摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线，它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的，它们运行的位移都是时间t的函数，故应引入时间t，通过速度v的矢量分解来寻找解决问题的途径.

解： 摩托车飞离跑道后，不考虑空气阻力，其运动轨迹是抛物线，轨迹方程是

x=vtcos12°，

y=vtsin12°－×9.8t².

其中v是摩托车飞离跑道时的速度，t是飞行时间，x是水平飞行距离，y是相对于起始点的垂直高度，将轨迹方程改写为

y=－×9.8x²+tan12°·x，

即y=－5.1219+0.2125x.

当x≈0.0207v²时，

取得y_max≈0.0022v².

当x=35时，y_落=－6274.3275+7.4375.

∵y_max－y_落=10，

2.数学建模，即将应用题的材料陈述转化成数学问题.这就要抽象、归纳其中的数量关系，并把这种关系用数学式子表示出来.

9.中国跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线为如下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).

在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.

(1)求这条抛物线的解析式.

(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.

(3)要使此次跳水不至于失误，该运动员按(1)中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？

解：(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为

y=ax²+bx+c.

由题意知，O、B两点的坐标依次为(0，0)、(2，－10)，且顶点A的纵坐标为，

　　　　 c=0，

4a+2b+c=－10.

　　　　 a=－，

c=0

b=－2，

c=0.

∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴－＞0.

又∵抛物线开口向下，∴a＜0.

∴b＞0，后一组解舍去.

∴a=－，b=，c=0.

∴抛物线的解析式为y=－x²+x.

(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3m时，即x=3－2=时，

y=(－)×()²+×=－，

∴此时运动员距水面的高为

10－=＜5.

因此，此次跳水会出现失误.

(3)当运动员在x轴上方，即y＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到.

∴当y＜0时，要使跳水不出现失误，

则应有|y|≤10－5，即－y≤5.

∴有x²－x≤5，

解得2－≤x≤2+.

∴运动员此时距池边的距离至多为2+2+=4+m.

●思悟小结

解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答.

●教师下载中心

教学点睛

解应用题时涉及到两个基本步骤，即将实际问题抽象成数学问题和解决这个数学问题，为此要注意以下三点：

8.(文)(2004年春季北京，文18)2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心F₂为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点.近地点A距地面200 km，远地点B距地面350 km.已知地球半径R=6371 km.(如下图)

(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；

(2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×10⁵ km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?(结果精确到1 km/s)(注：km/s即千米/秒)

解：(1)设椭圆的方程为+=1.

由题设条件得

a－c=|OA|－|OF₂|=|F₂A|=6371+200=6571，

a+c=|OB|+|OF₂|=|F₂B|=6371+350=6721.

解得a=6646，c=75，所以a²=44169316，

b²=a²－c²=(a+c)(a－c)=6721×6571=44163691.

∴所求椭圆的方程为+=1.

(注：由≈6645.5768得椭圆的方程为+ =1，也是正确的)

(2)从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s.

减去开始的9分50 s，即9×60+50=590(s)，再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650(s)，得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950(s)，

平均速度是≈8(km/s).

所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s.

(理)(2003年上海)如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

(1)若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？

(2)若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

(半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高.本题结果均精确到0.1 m)

(1)解：如下图建立直角坐标系，则点P(11，4.5)，

椭圆方程为+=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=≈33.3.因此隧道的拱宽约为33.3 m.

(2)解法一：由椭圆方程+=1，得+=1.

因为+≥，即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=lh=≥.

当S取最小值时，有==，

得a=11，b=.

此时l=2a=22≈31.1，h=b≈6.4.

故当拱高约为6.4 m、拱宽约为31.1 m时，土方工程量最小.

解法二：由椭圆方程+=1，

得+=1.

于是b²=·.

a²b²=(a²－121++242)≥(2+242)=81×121，

即ab≥99，当S取最小值时，

有a²－121=.

得a=11，b=，以下同解法一.

探究创新

7.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么?

解：如下图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y=ax²，则A(10，－2)在抛物线上，

∴－2=ax²，a=－，方程即为y=－x²让货船沿正中央航行.

∵船宽16 m，而当x=8时，y=－·8²=1.28 m，

∴船体在x=±8之间通过.由B(8，－1.28)，

∴B点离水面高度为6+(－1.28)=4.72(m)，而船体水面高度为5 m，

∴无法直接通过.又5－4.72=0.28(m)，0.28÷0.04=7，而150×7=1050(t)，

∴要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.

6.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4.5 cm，灯丝距顶面距离为2.8 cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程.

分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光.

解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC是椭圆的一部分，设其方程为+=1，灯丝距顶面距离为p，由于△BF₁F₂为直角三角形，因而，|F₂B|²=|F₁B|²+|F₁F₂|²=p²+4c²，由椭圆性质有|F₁B|+|F₂B|=2a，所以a=(p+)，a=　 (2.8+)≈4.05 cm，b=≈3.37 m.∴所求方程为+=1.

培养能力

5.下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，

(1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；

(2)若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.

解：(1)如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径.

由已知，得A点坐标是(2，6)，

设抛物线方程为y²=2px(p＞0)，

则36=2p×2，p=9.

所以所求抛物线的标准方程是y²=18x，

焦点坐标是F(，0).

(2)∵盛水的容器在焦点处，∴A、F两点间的距离即为每根铁筋长.

|AF|==(或|AF|=+2=).

故每根铁筋的长度是6.5 m.

4.河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m时，小船不能通航.

解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x²=－2py(p>0).

将点(4，－5)代入求得p=.

∴x²=－y.

将点(2，y₁)代入方程求得y₁=－.

∴+|y₁|=+=2(m).

答案：2

3.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x²=2y(0≤y≤20).在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为____________.

解析：玻璃球的轴截面的方程为

x²+(y－r)²=r²，由

x²+(y－r)²=r²，

答案：0＜r≤1