9.(2004年天津，理19)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)证明：PA∥平面EDB；

(2)证明：PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小.

解法一：(1)证明：连结AC交BD于O.连结EO.

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.

在△PAC中，EO是中位线，

∴PA∥EO.

而EO平面EDB且PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB.

(2)证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC.

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形.而DE是斜边PC的中线，

∴DE⊥PC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC.

而DE平面PDC，∴BC⊥DE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①和②推得DE⊥平面PBC.

而PB平面PBC，∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD.

(3)解：由(2)知PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.

由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB.

设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a，BD=a，

PB==a，

PC==a，

DE=PC=a.

在Rt△PDB中，

DF===a.

在Rt△EFD中，

sin∠EFD===，

∴∠EFD=.

∴二面角C-PB-D的大小为.

解法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设DC=a.

(1)证明：连结AC交BD于G.连结EG.

依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，E(0，，).

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(，，0)且=(a，0，－a)， =(，0，－).

∴=2.这表明PA∥EG.

而EG平面EDB且PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB.

(2)证明：依题意得B(a，a，0)，

=(a，a，－a).

又=(0，，)，

故·=0+－=0.

∴PB⊥DE.

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，

∴PB⊥平面EFD.

(3)解：设点F的坐标为(x₀，y₀，z₀)， =λ，则(x₀，y₀，z₀－a)=λ(a，a，－a).

从而x₀=λa，y₀=λa，z₀=(1－λ)a.

∴ =(－x₀，－y₀，－z₀)=［－λa，(－λ)a，(λ－)a］.

由条件EF⊥PB知·=0，即

－λa²+(－λ)a²－(λ－)a²=0，

解得λ=.

∴点F的坐标为(，，)，且=(－，，－)， =(－，－，－).∴·=－－+=0，即PB⊥FD.

故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.

∵·=－+=，且||=·a，||=·a，

∴cos∠EFD==.

∴∠EFD=.∴二面角C-PB-D为.

●思悟小结

8.(2005年春季北京，文16)如图，正三棱锥S-ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：

(1)的值；

(2)二面角S-BC-A的大小；

(3)正三棱锥S-ABC的体积.

解：(1)∵SB=SC，AB=AC，M为BC的中点，∴SM⊥BC，AM⊥BC.

由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即

3×BC×SM=2×BC×AM，

得=.

(2)作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，GM=AM.

∵SM⊥BC，AM⊥BC，

∴∠SMA是二面角S-BC-A的平面角.

在Rt△SGM中，

∵SM=AM=×3GM=2GM，

∴∠SMA=∠SMG=60°，

即二面角S-BC-A的大小为60°.

(3)∵△ABC的边长是3，

∴AM=，GM=，SG=GMtan60°=·= .

∴V_S-ABC= S·SG=··=.

(2005年春季北京，理16)如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于B₁、C₁.将△AB₁C₁沿B₁C₁折起到△A₁B₁C₁的位置，使点A₁在平面BB₁C₁C上的射影恰是线段BC的中点M.求：

(1)二面角A₁-B₁C₁-M的大小；

(2)异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小.(用反三角函数表示)

解：(1)连结AM、A₁G.

∵G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，

∴A、G、M三点共线，AM⊥BC.

∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁⊥AM于点G，

即GM⊥B₁C₁，GA₁⊥B₁C₁.

∴∠A₁GM是二面角A₁-B₁C₁-M的平面角.

∵点A₁在平面BB₁C₁C上的射影为M，

∴A₁M⊥MG，∠A₁MG=90°.

在Rt△A₁GM中，由A₁G=AG=2GM，得∠A₁GM=60°，

即二面角A₁-B₁C₁-M的大小是60°.

(2)过B₁作C₁C的平行线交BC于点P，则∠A₁B₁P等于异面直线A₁B₁与CC₁所成的角.

由PB₁C₁C是平行四边形得B₁P=C₁C=1=BP，PM=BM－BP=，A₁B₁=AB₁=2.

∵A₁M⊥面BB₁C₁C于点M，

∴A₁M⊥BC，∠A₁MP=90°.

在Rt△A₁GM中，A₁M=A₁G·sin60°=·=.

在Rt△A₁MP中，A₁P²=A₁M²+PM²=()²+()²=.

在△A₁B₁P中，由余弦定理得

cos∠A₁B₁P===，

∴异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小为arccos.

探究创新

7.在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁=BB₁，

(1)求证：AB₁⊥BC₁；

(2)求二面角A-BC₁-C的正切值.

(1)证法一：如图，取BC的中点M，连结B₁M、BC₁交于N，则AM⊥面BC₁.下证BC₁⊥B₁M.设BB₁=1，则AB₁=，AB=BC=，

∴tan∠B₁MB==tan∠B₁BC₁.

∴得△B₁MB∽△B₁BN.

∴∠B₁BM=90°=∠B₁NB，即BC₁⊥B₁M.

∴BC₁⊥斜线AB₁.

证法二：如图，取B₁C₁和B₁B的中点E与D，连结ED，则DE∥BC₁.再取AB的中点G，连结DG，则DG∥AB₁，

∴∠GDE为异面直线AB₁、BC₁所成的角.下用勾股定理证明∠GDE为直角.取A₁B₁的中点F，连结EF、EG、FG，则EG=且DE、DG均可表示出.

故可知EG²=DE²+DG²，∴∠GDE=90°.

(2)解：连结AN，则∠ANM为所求二面角的平面角，tan∠ANM=3.

评述：本题(1)证法一中可把面BB₁C₁C单独拿出作成平面图形，则易于观察△B₁MB与△B₁NB的相似关系.证法二的特点是思路较好.因为所证为两异面直线，作出其所成角为一般方法.

6.(2003年春季北京)如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD=G.

(1)求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

(2)求点D₁到平面B₁EF的距离d.

(1)证法一：连结AC.

∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，∴AC⊥BD.又AC⊥D₁D，∴AC⊥平面BDD₁B₁.

∵E、F分别为AB、BC的中点，故EF∥AC.

∴EF⊥平面BDD₁B₁.

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，

∴EF⊥BD.

又EF⊥D₁D，∴EF⊥平面BDD₁B₁.

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

(2)在对角面BDD₁B₁中，作D₁H⊥B₁G，垂足为H.

∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁=B₁G，

∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足为H.

∴点D₁到平面B₁EF的距离d=D₁H.

解法一：在Rt△D₁HB₁中，

D₁H=D₁B₁·sin∠D₁B₁H.

∵D₁B₁=A₁B₁=·2=4，

sin∠D₁B₁H=sin∠B₁GB===，

∴d=D₁H=4·=.

解法二：∵△D₁HB₁∽△B₁BG，

∴=.

∴d=D₁H===.

解法三：连结D₁G，则△D₁GB₁的面积等于正方形DBB₁D₁面积的一半，即·B₁G·D₁H=B₁B²，

∴d=D₁H== .

培养能力

5.三棱锥一条侧棱长是16 cm，和这条棱相对的棱长是18 cm，其余四条棱长都是17 cm，求棱锥的体积.

解：如图，取AD的中点E，连结CE、BE，

∵AC=CD=17，DE=8，CE²=17²－8²=225，BE=CE，

∴取BC的中点F，连结EF，EF为BC边上的高，EF===12.

∴S=108.

∵AC=CD=17cm，E为AD的中点，CE⊥AD，同理BE⊥AD，

∴DA⊥平面BCE.

∴三棱锥可分为以底面BCE为底，以AE、DE为高的两个三棱锥.

∴V_A－BCD=V_A-BCE+V_D-BCE=2·S·AE=2××108×8=576(cm³).

4.在三棱锥S-ABC中，∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°，则侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_____________.

答案：arccos

3.在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是棱CC₁、C₁D₁、D₁D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，则M只需满足条件__________时，就有MN⊥AC.

答案：点M与F重合

说明：本题答案不唯一，当点M在线段FH上时均有MN⊥AC.

2.P是长方体AC₁上底面A₁C₁内任一点，设AP与三条棱AA₁、AB、AD所成的角为α、β、γ，则cos²α+cos²β+cos²γ的值是

A.1　　　　　　　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　　　　 D.不确定正

解析：以AP为一条对角线截得小长方体AP，由长方体的对角线长定理可得cos²α+cos²β

+cos²γ=1.

答案：A

1.(2004年全国Ⅰ，10)已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于

A. 　　　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：如图所示，正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，

∴四面体EFGH也是正四面体.

连结AE并延长与CD交于点M，

连结AG并延长与BC交于点N.

∵E、G分别为面的中心，

∴==.∴=.

又∵MN=BD，∴=.

∵面积比是相似比的平方，∴=.

答案：A

5.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比(自上而下)为__________.

解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S_侧1∶S_侧2∶S_侧3=

1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5.

答案：1∶3∶5

●典例剖析

[例1] 已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱A₁A、CC₁的中点，求四棱锥C₁-B₁EDF的体积.

解法一：连结A₁C₁、B₁D₁交于O₁，过O₁作O₁H⊥B₁D于H，

∵EF∥A₁C₁，

∴A₁C₁∥平面B₁EDF.∴C₁到平面B₁EDF的距离就是A₁C₁到平面B₁EDF的距离.

∵平面B₁D₁D⊥平面B₁EDF，

∴O₁H⊥平面B₁EDF，即O₁H为棱锥的高.

∵△B₁O₁H∽△B₁DD₁，

∴O₁H==a，

V=S·O₁H=··EF·B₁D·O₁H=··a·a·a=a³.

解法二：连结EF，设B₁到平面C₁EF的距离为h₁，D到平面C₁EF的距离为h₂，则h₁+h₂=B₁D₁=a，∴V=V+V=·S·(h₁+h₂)= a³.

解法三：V=V－V－V=a³.

特别提示

求体积常见方法有：①直接法(公式法)；②分割法；③补形法.

[例2] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.

(1)当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论.

(2)当a=4时，求D点到平面PBC的距离.

(3)当a=4时，求直线PD与平面PBC所成的角.

剖析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识.同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.

本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算.

解：(1)以A为坐标原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，当a=2时，BD⊥AC，又PA⊥BD，故BD⊥平面PAC.故a=2.

(2)当a=4时，D(4，0，0)、C(0，2，0)、C(4，2，0)、P(0，0，2)、 =(0，2，－2)，=(4，0，0).

设平面PBC的法向量为n，则n·=0，n·=0，即(x，y，z)·(0，2，－2)=0，(x，y，z)·(4，0，0)=0，得x=0，y=z，取y=1，故n=(0，1，1).则D点到平面PBC的距离d==.

(3) =(4，0，2)，cos〈，n〉==>0，证〈，n〉=α，设直线PD与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=sin(－α)=cosα=.

所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin.

[例3] 如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC.

(1)求证：S-ABC为正三棱锥；

(2)已知SA=a，求S-ABC的全面积.

(1)证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连结AO并延长交BC于D.

因为SA⊥BC，所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC.又∠BAC=60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心.所以S－ABC为正三棱锥.

(2)解：只要求出正三棱锥S-ABC的侧高SD与底面边长，则问题易于解决.在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，所以SO=a，AO=a.因O为重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60°=a，OD=AD=a.

在Rt△SOD中，SD²=SO²+OD²=(a)²+(a)²=，则SD=a.

于是，(S_S－ABC)_全=·(a)²sin60°+3··a·a=a².

深化拓展

(1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S_正棱锥底=cosα·S_正棱锥侧(α为侧面与底面所成的二面角).就本题cosα=，S=a²，所以(S_S－ABC)_侧=a²÷=a².于是也可求出全面积.

(2)注意到高SO=a，底面边长BC=a是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真.

(3)正三棱锥中，若侧棱与底面边长相等，则变成四个面都是正三角形的三棱锥，这时可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体.

●闯关训练

夯实基础