7.已知l是过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点的平面AB₁D₁与下底面ABCD所在平面的交线，(1)求证：D₁B₁∥l；(2)若AB=a，求l与D₁间的距离.

(1)证明：

∵D₁B₁∥BD，

∴D₁B₁∥平面ABCD.

又平面ABCD∩平面AD₁B₁=l，

∴D₁B₁∥l.

(2)解：∵D₁D⊥平面ABCD，

在平面ABCD内，由D作DG⊥l于G，连结D₁G，则D₁G⊥l，D₁G的长即等于点D₁与l间的距离.

　∵l∥D₁B₁∥BD，∴∠DAG=45°.

∴DG=a，D₁G===a.

探究创新

6.如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC.

分析：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC.

证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得===

=NR=MB.∵NR∥DC∥AB，∴四边形MNRB是平行四边形.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.

证法二：过N作NQ∥AD交PA于点Q，连结QM，∵==，∴QM∥PB.又NQ∥AD∥BC，∴平面MQN∥平面PBC.∴直线MN∥平面PBC.

证法三：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意有==，∴=，=+ + =.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.

培养能力

5.如下图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE= a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.

解：在面PCD内作EG⊥PD于G，连结AG.

∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，

∴CD⊥PD.∴CD∥EG.

又AB∥CD，∴EG∥AB.

若有EF∥平面PAD，则EF∥AG，

∴四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF.

∵CE==a，△PBC为直角三角形，∴BC²=CE·CPCP=a，====.

故得AF∶FB=2∶1时，EF∥平面PAD.

4.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=2，AC、BC分别和平面α成45°和30°角，则AB到平面α的距离为__________.

解析：分别过A、B向平面α引垂线AA′、BB′，垂足分别为A′、B′.

设AA′=BB′=x，

则AC²=()²=2x²，

BC²=()²=4x².

又AC²+BC²=AB²，∴6x²=(2)²，x=2.

答案：2

3.(2004年全国Ⅰ，16)已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.

在上面结论中，正确结论的编号是__________.(写出所有正确结论的编号)

解析：A₁D与BC₁在平面ABCD上的射影互相平行；

AB₁与BC₁在平面ABCD上的射影互相垂直；

DD₁与BC₁在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.

答案：①②④

2.a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是

A.过A有且只有一个平面平行于a、b　　　　　　 B.过A至少有一个平面平行于a、b

C.过A有无数个平面平行于a、b　　　　　　　　　　 D.过A且平行a、b的平面可能不存在

解析：过点A可作直线a′∥a，b′∥b，

则a′∩b′=A.

∴a′、b′可确定一个平面，记为α.

如果aα，bα，则a∥α，b∥α.

由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.

答案：D

1.两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是

A.a∥α　　　　　　 B.a与α相交　　　　　　　　 C.a与α不相交　　　　　　 D.aα

答案：C

5.在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.

解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由==得MN∥AB，

因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.

答案：平面ABC、平面ABD

●典例剖析

[例1] 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.

证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足(如上图)，连结PQ.

∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.

又NQ= BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形.

∴MN∥PQ，PQ平面BCE.

而MN平面BCE，

∴MN∥平面BCE.

证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G(如下图)，连结NG.

∵MG∥BC，BC平面BCE，

MG平面BCE，

∴MG∥平面BCE.

又==，

∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.

又面MG∩NG=G，

∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE.

特别提示

证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.

[例2] 如下图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面对角线AB₁、BC₁上分别有两点E、F，且B₁E=C₁F.求证：EF∥平面ABCD.

证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN.

∵BB₁⊥平面ABCD，

∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC.

∴EM∥BB₁，FN∥BB₁.∴EM∥FN.

又B₁E=C₁F，∴EM=FN.

故四边形MNFE是平行四边形.

∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中，

∴EF∥平面ABCD.

证法二：过E作EG∥AB交BB₁于点G，连结GF，则=.

∵B₁E=C₁F，B₁A=C₁B，∴=.

∴FG∥B₁C₁∥BC.

又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，

∴平面EFG∥平面ABCD.而EF在平面EFG中，

∴EF∥平面ABCD.

评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行.

[例3] 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

(1)求证：直线MN∥平面PBC；

(2)求直线MN与平面ABCD所成的角.

(1)证明：∵P-ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.

∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.

又∵BN∶ND=PM∶MA，

∴EN∶AN=PM∶MA.

∴MN∥PE.

又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.

(2)解：由(1)知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.

设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.

由正棱锥的性质知PO==.

由(1)知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，

∴BE=.

在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=，

根据余弦定理，得PE=.

在Rt△POE中，PO=，PE=，

∴sin∠PEO==.

故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.

思考讨论

证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法.

●闯关训练

夯实基础

4.(文)设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，①当S在α、β之间时，SC=_____________，②当S不在α、β之间时，SC=_____________.

解析：∵AC∥BD，∴△SAC∽△SBD，①SC=16，②SC=272.

答案：①16　 ②272

(理)设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A(A与BC分居平面两侧)作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________.

解析：解法类同于上题.

答案：

3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是

A.异面　　　　　　　　　　　　 B.相交　　　　　　　　　　　　 C.平行　　　　　　　　　　　　 D.不能确定

解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，

过直线a作与α、β都相交的平面γ，

记α∩γ=b，β∩γ=c，

则a∥b且a∥c，

∴b∥c.

又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.

答案：C