5.如下图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a.

(1)求证：平面AD₁B₁∥平面C₁DB；

(2)求证：A₁C⊥平面AD₁B₁；

(3)求平面AB₁D₁与平面BC₁D之间的距离.

(1)证明：∵D₁B₁∥DB，∴D₁B₁∥平面C₁DB.

同理，AB₁∥平面C₁DB.

又D₁B₁∩AB₁=B₁，

∴平面AD₁B₁∥平面C₁DB.

(2)证明：∵A₁C₁⊥D₁B₁，而A₁C₁为A₁C在平面A₁B₁C₁D₁上的射影，∴A₁C₁⊥D₁B₁.

同理，A₁C⊥AB₁，D₁B₁∩AB₁=B₁.

∴A₁C⊥平面AD₁B₁.

(3)解：设A₁C∩平面AB₁D₁=M，

A₁C∩平面BC₁D=N，O₁、O分别为上底面A₁B₁C₁D₁、下底面ABCD的中心.

则M∈AO₁，N∈C₁O，且AO₁∥C₁O，

MN的长等于平面AD₁B₁与平面C₁DB的距离，即MN=A₁M=NC=A₁C=a.

培养能力

4.如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面α，AB∥α，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.

(1)求证：MN∥α；

(2)若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长.

(1)证明：过B作BB′⊥α，垂足为B′，连结CB′、DB′，设E为B′D的中点，

连结NE、CE，则NE∥BB′且NE=BB′，又AC=BB′，

∴MCNE，即四边形MCEN为平行四边形(矩形).

∴MN∥CE.又CEα，MNα，∴MN∥α.

(2)解：由(1)知MN=CE，AB=CB′=a=CD，B′D==，

∴CE==，

即线段MN的长为.

3.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③棱A₁D₁始终与水面EFGH平行；

④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值.

其中正确命题的序号是_____________.

解析：对于命题①，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状(四棱柱或三棱柱、五棱柱)，且BC为棱柱的一条侧棱，命题①正确.对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确.③是正确的(请给出证明).④是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是①③④.

答案：①③④

2.设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_____________.

解析：如图(1)，由α∥β可知BD∥AC，

∴=，即=，∴SC=68.

如图(2)，由α∥β知AC∥BD，

∴==，即=.

∴SC=.

答案：68或

1.(2003年上海)在下列条件中，可判断平面α与β平行的是

A.α、β都垂直于平面γ

B.α内存在不共线的三点到β的距离相等

C.l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β

D.l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

答案：D

4.a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

其中正确的命题是________________.(将正确的序号都填上)

答案：①④⑤⑥

●典例剖析

[例1] 设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α.

剖析：因为AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行.在平面α、β中不易找到与MN平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN且与α平行的平面.根据M、N是异面直线上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得.

证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME是△BAC的中位线，故ME∥AC，MEα，∴ME∥α.同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF.而NE平面α，CFα，∴NE∥α.又ME∩

NE=E，∴平面MNE∥α，而MN平面MNE，∴MN∥平面α.

[例2] 如下图，在空间六边形(即六个顶点没有任何五点共面)ABCC₁D₁A₁中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA₁∥CC₁.求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁.

证法一：作正方形BCC₁B₁和CC₁D₁D，并连结A₁B₁和AD.

∵AA₁CC₁BB₁DD₁，且AA₁⊥AB，AA₁⊥A₁D₁，

∴ABB₁A₁和AA₁D₁D都是正方形，且ACC₁A₁是平行四边形.

故它们的对应边平行且相等.

∵△ABC≌△A₁B₁C₁，∴A₁B₁⊥B₁C₁.

同理，AD⊥CD.

∵BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，∴BB₁⊥平面ABC.

同理，DD₁⊥平面ACD.

∵BB₁∥DD₁，∴BB₁⊥平面ACD.

∴A、B、C、D四点共面.

∴ABCD为正方形.

同理，A₁B₁C₁D₁也是正方形.

故ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体.

易知A₁C₁∥AC，

∴A₁C₁∥平面ACD₁.

同理，BC₁∥平面ACD₁，

∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁.

证法二：证ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，同上.

连结B₁D、B₁D₁，则B₁D₁是B₁D在底面ABCD上的射影，

由三垂线定理知B₁D⊥A₁C₁，

同理可证B₁D⊥BA₁，

∴B₁D⊥平面A₁BC₁.

同理可证，B₁D⊥平面ACD₁，

∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁.

思考讨论

证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.

[例3] 如下图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是C₁C、B₁C₁、C₁D₁的中点，求证：

(1)AP⊥MN；

(2)平面MNP∥平面A₁BD.

证明：(1)连结BC₁、B₁C，则B₁C⊥BC₁，BC₁是AP在面BB₁C₁C上的射影.∴AP⊥B₁C.

又B₁C∥MN，∴AP⊥MN.

(2)连结B₁D₁，∵P、N分别是D₁C₁、B₁C₁的中点，

∴PN∥B₁D₁.又B₁D₁∥BD，

∴PN∥BD.又PN不在平面A₁BD上，

∴PN∥平面A₁BD.

同理，MN∥平面A₁BD.又PN∩MN=N，

∴平面PMN∥平面A₁BD.

评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、P都为中点，故添加B₁C、BC₁作为联系的桥梁.

●闯关训练

夯实基础

3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是

A.α、β都平行于直线a、b

B.α内有三个不共线点到β的距离相等

C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β

D.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β

解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；

B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；

C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确.

答案：D

2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有

A.1种　　 　　　　　　　　　 B.2种　　 　　　　　　　　　 C.3种　　 　　　　　　　　　 D.4种

解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.

答案：C

1.(2005年春季北京，3)下列命题中，正确的是

A.经过不同的三点有且只有一个平面

B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线

C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线

D.垂直于同一个平面的两个平面平行

答案：C

2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.

●点击双基