4．双曲线的左支上一点P，⊙O'为ΔPF₁F₂的内切圆，则圆心O'的横坐标为(B).

A、a 　　　　　B、-a　　　 C、　　　 D、

3. F₁、F₂为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F₁QF₂的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为(A).

A、圆　　　 B、椭圆　　 C、双曲线　 D、抛物线

2. 双曲线的虚轴长为4，离心率，F₁、F₂分别是它的左，右焦点，若过F₁的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF₂|与|BF₂|的等差中项，则|AB|为(A).

A、　　　 B、　　 C、　　 D、8

1. 若椭圆经过原点，且焦点为F₁(1，0)，F₂(3，0)，则其离心率为( C )

A.　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　 D.

6．如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=l|OF|。

(Ⅰ)写出双曲线C的离心率e与l的关系式；

(Ⅱ)当l=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程。

[专家解答]

∵四边形是€，∴，

作双曲线的右准线交PM于H，则，

又，

。

(Ⅱ)当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，

又，由得：，解得，则，所以为所求。

★★★高考要考什么

[考点透视]

椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。

[热点透析]

主要题型：

(1)定义及简单几何性质的灵活运用；

(2)求曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程)。

题型一般为二小一大，小题基础灵活，解答题一般在中等难度以上，一般具有较高的区分度。

★★★突破重难点

[范例1]过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为( B )

(A) 　　　(B) 　　　　　(C) 　　　(D)

解：设点A、B到椭圆左准线的距离分别为d₁，d₂，｜FA｜=r₁，｜FB｜=r₂，

则=e，即d₁=，同理d₂=，两式相减得.

因为直线AB的倾斜角为60°， \ 2|d₁-d₂|=|AB|=3r₂，e=

[点晴]本题的关键在于利用椭圆的第二定义将60°倾斜角、|FA|=2|FB|这两个条件与椭圆的离心率建立联系。

[文]若F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：

，

则该双曲线的离心率为(　　 )

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　 D．3

解：由知四边形F₁OMP是平行四边形，又

知OP平分∠F₁OM，即F₁OMP是菱形，设|OF₁|=c，则|PF₁|=c.

又|PF₂|-|PF₁|=2a，　　 ∴|PF₂|=2a+c，

由双曲线的第二定义知,且e>1，∴e=2，故选C.

[范例2]定长为3的线段AB的两个端点在y=x²上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设A(x₁，x₁²)，B(x₂，x₂²)，又设AB中点为M(x₀,y₀)用弦长公式及中点公式得出y₀关于x₀的函数表达式，用函数思想求出最短距离。

(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义。

则

由①得(x₁-x₂)²[1+(x₁+x₂)²]=9， 即[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]·[1+(x₁+x₂)²]=9　 ④

由②、③得2x₁x₂=(2x₀)²-2y₀=4x₀²-2y₀ 代入④得[(2x₀)²-(8x₀²-4y₀)]·[1+(2x₀)²]=9

∴，

≥

当4x₀²+1=3　 即 时，此时

法2：如图

∴， 即，

∴， 当AB经过焦点F时取得最小值。

∴M到x轴的最短距离为

[点晴]解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x₁，x₂，从而形成y₀关于x₀的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。请思考：当|AB|在什么范围内取值时不能用解法二？

[文](北京卷)椭圆的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥PF₂，| PF₁|=，| PF₂|=.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。

解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,

从而b²=a²－c²=4,　 所以椭圆C的方程为＝1.

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂).　

　由圆的方程为(x+2)²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为(－2，1).　 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得

　(4+9k²)x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

因为A，B关于点M对称.　 所以　

解得，

所以直线l的方程为　 即8x-9y+25=0.　 (经检验，符合题意)

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为(－2，1).

　 设A，B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂).由题意x₁x₂且

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①－②得 　　　　 ③

因为A、B关于点M对称，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y－1＝(x+2)，即8x－9y+25=0.

(经检验，所求直线方程符合题意.)

[范例3]如图1，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且，。

(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；

(2)如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围

成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数l

使？请给出证明。

解：(1)以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如

图直角坐标系，则A(2，0)，椭圆方程可设为

。

而O为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|

又，所以AC⊥BC

又，所以|OC|＝|AC|，

所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为(1，1)。将(1，1)代入椭圆方程得，则椭圆方程为。

(2)由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y=k(x-1)，直线CQ的方程为y=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得

　(1+3k²)x²-6k(k-1)x+3k²-6k-1=0①

因为C(1，1)在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是

　 同理

这样，， 又B(－1，－1)，所以，

即k_AB=k_PQ。所以PQ∥AB，存在实数l使。

[点晴]利用斜率互为相反数关系，整体替换，可简化解题过程。

[文](06上海春)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

(2)试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

解：(1)设曲线方程为，　 由题意可知，.　 .　

　　曲线方程为.

(2)设变轨点为，根据题意可知

得 ，

或(不合题意，舍去).

　 .

　 得 或(不合题意，舍去).　

点的坐标为，.

答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出指令.

[范例4]过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，

(1)求点P的轨迹方程；

(2)已知点F(0，1)，是否存在实数l使得？若存在，求出l的值，若不存在，请说明理由。

解法(一)：(1)设

由得：　　

直线PA的方程是即　　 ①　

同理，直线PB的方程是：　　　　　　　　 ②

由①②得：　 ∴点P的轨迹方程是

(2)由(1)得：

，

，所以

故存在l=1使得

解法(二)：(1)∵直线PA、PB与抛物线相切，且

∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且

设PA的直线方程是

由得：

即

即直线PA的方程是：

同理可得直线PB的方程是：

由得：

故点P的轨迹方程是

(2)由(1)得：

，

故存在l=1使得

[点晴]抛物线的切线方程成了近几年高考试题中的一个考查亮点。解法一、解法二是解决抛物线切线问题的常用方法，应熟练掌握。

[文]已知△ABC的两顶点A、B分别是双曲线2x²-2y²=1的左、右焦点, 且sinC是sinA、sinB的等差中项.

(Ⅰ)求顶点C的轨迹T的方程；　

(Ⅱ)设P(-2,0), 过点作直线l交轨迹T于M、N两点，问∠MPN的大小是否为定值？证明你的结论.　

解：(Ⅰ) 由条件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且sinA + sinB = 2sinC

∴|BC| + |AC| = 2|AB| = 4

∴点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a = 4的椭圆(不包括x轴上两点).

∴点C的轨迹T的方程是=1 (x≠±2)　

(Ⅱ) 当l⊥x轴时，直线l的方程为x =，代入=1解得M、N的坐标为()，而|PE| =，∴∠MPN = 90°，

猜测∠MPN= 90°为定值.　

x = my 3x2 + 4y2 = 12

由　 　　　　　　　　　　　　　 ，得 (3m² + 4) y² my= 0

∴y₁ + y₂ =，y₁ y₂ =　

∴= (x₁ + 2 , y₁)·(x₂ +2 , y₂ ) = (x₁ + 2 ) (x₂ +2) + y₁ y₂

= (my₁ +) (my₂ +) + y₁ y₂ = (m² +1) y₁ y₂ +m (y₁ + y₂) +

=(m² +1)+m+= 0

∴∠MPN = 90°，为定值.　

★★★自我提升

5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 　　　　．

4．抛物线y=4x²上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B)

　 ( A ) 　　　　　　( B )　 　　　　　　( C ) 　　　　　　( D ) 0

3．如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是(　 C　 )

A． 　　　 B．　　　 C．　　　 　　 D．

2．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为(A)

(A)　　　　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y²＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C )

(A)2　　　　　　 (B)6　　　　　 (C)4　　　　 (D)12