1．转化思想：

①

② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形

6．在棱长为的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁， E、F分别为BC与A₁D₁的中点，

(1) 求直线A₁C与DE所成的角；

(2) 求直线AD与平面B₁EDF所成的角；

(3) 求面B₁EDF 与 面ABCD所成的角。

[专家解答]

(1)如图，在平面ABCD内，过C作CP//DE交直

线AD于P，则(或补角)为异面直线A₁C与

DE所成的角。在Δ中，易得

，由余弦定理得。

故异面直线A₁C与DE所成的角为。

(2)，

∴AD在面B₁EDF内的射影在∠EDF的平分线上。

而B₁EDF是菱形，∴DB₁为∠EDF的平分线。故直线

AD与面B₁EDF所成的角为∠ADB₁．在RtΔB₁AD中，

则。

故直线AD与平面B₁EDF所成的角为。

(3)连结EF、B₁D，交于点O，显然O为B₁D的中点，从而O为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心。再作HM⊥DE，垂足为M ，连结OM，则OM⊥DE(三垂线定理)，故∠OMH为二面角B₁-DE-A的平面角。

在RtΔDOE中，

则由面积关系得。

在RtΔOHM中。

故面B₁EDF 与 面ABCD所成的角为

★★★高考要考什么

[考点透视]

异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.

[热点透析]

5．PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60°,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 ．

4．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，

则侧面与底面所成的二面角等于．

3．直三棱住A₁B₁C₁-ABC，∠BCA=，点D₁、F₁ 分

别是A₁B₁、A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁，则BD₁与AF₁

所成角的余弦值是(　 A　 )　

A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D．　 　

2．在一个45⁰的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成45⁰角，则此直线与

二面角的另一个面所成的角为 (　 A　 )

A．30⁰　　　　 B．45⁰　　　 C．60⁰　　　 D．90⁰

1．如图，直线a、b相交与点O且a、b成60⁰，过点O 与a、

b都成60⁰角的直线有(　 C　 )

A．1 条　　　 B．2条　　　 C．3条　　 D．4条

8.如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE；

(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小；

(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

解：(I)

(II)连结AC、BD交于G，连结FG，

∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，　 ∵BF⊥平面ACE，

∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由(I)可知，AE⊥平面BCE，

∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，

在直角三角形BCE中，CE=

在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，

∴二面角B-AC-E为

(III)由(II)可知，在正方形ABCD中，BG=DG，

D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平

面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即

为D到平面ACE的距离.故D到平面的距离为.

另法：过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，　 　

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

　设平面AEC的一个法向量为，

则 解得

　　　 令得是平面AEC的一个法向量.

　　　 又平面BAC的一个法向量为，

　　　 ∴二面角B-AC-E的大小为

(III)∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

7．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为a，M是BC的中点，N是CC₁上一点，满足MN⊥AB₁。

(1)　　　 试确定点N的位置；

(2)　　　 求点C₁到平面AMN的距离。

解 (1)∵M是BC中点，ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，

∴AM⊥平面B₁BCC₁，　 ∴AM⊥MN，

∵MN⊥AB₁，　 ∴MN⊥平面B₁AM，　 ∴MN⊥B₁N，

设NC=x，在RtΔB₁BM中，,

在RtΔNCM中，,

在RtΔB₁C₁N中，, 在RtΔB₁MN中，，

∴,　 ∴,　 ∴N在CC₁的处。

(2)点C₁到平面AMN的距离，即为三棱锥C₁-AMN的高，

设为h，则,

∵,∴,

∵AM=,MN=,　　 ∴,

,　 ∴.

6．已知平面a与平面b交于直线l，P是空间一点，PA⊥a，垂足为A，PB⊥b，

垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在b内的射影与点B在a内的射影重合，

则点P到l的距离.