4．利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题

[热点透析]

空间向量解立体几何问题的基本步骤是：

3．利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题

2．利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线,线面,面面垂直问题

1．利用两个向量共线和共面定理,可证明有关线线平行,线面平行,面面平行问题

6．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。

(1)证明：AC⊥SB；

(2)求二面角N-CM-B的大小；

(3)求点B到平面CMN的距离．

[专家解答](1)取AC中点O，连结OS、OB．

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO．

∵平面SAC⊥平面ABC， ∴SO⊥面ABC，

∴SO⊥BO．如图建立空间直角坐标系

O－xyz．则A(2，0，0)，B(0，2，0)，

C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，，)．　

∴=(－4，0，0)，=(0，2，－2)，

∵·=(－4，0，0)·(0，2，－2)=0，　 ∴AC⊥SB．

(2)由(1)得=(3，，0)，=(－1，0，)．

设n=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， ∴n=(，－，1)，

又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，　

∴cos(n，)==．∴二面角N－CM－B的大小为arccos．

(3)由(1)(2)得=(－1,,0)，n=(,－,1)为平面CMN的一个法向量　　　　

∴点B到平面CMN的距离d==．

★★★高考要考什么

[考点透视]

用空间向量可以解决的立体几何问题有：

5．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BAC=90⁰，AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC

成30⁰角，则二面角B-B₁C-A的正弦值。

4．在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，

若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是( C　 )

A．　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

3．如图，正四面体S-ABC中，D为SC的中点，则BD与SA

所成角的余弦值是( C　 )

A．　　　　B．　　　C．　　　D．

2．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90⁰,AC=AA₁=a，则点A到平面A₁BC的距

离是( C )

A ．a　　　B．a　　　 C． 　　D．a

1．在正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，M、N分别是棱A₁A和B₁B的中点，若θ为直

线CM与D₁N所成的角，则sinθ等于 (　 )

A．　　　　 B．　　　　 C．　 　 D．