2. 在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3

个球，至少摸到2个黑球的概率等于(　 A　 )

A. 　　　　　 B. 　　　　　　　 C. 　　　　　　　　 D.

1. 某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有

195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用

分层抽样的方法，抽取的中型商店数是(　 C　 )

(A)2　　　　　　 (B)3　　　　　 (C)5　　　　　　 (D)13

2.独立重复试验，其关键是明确概念，用好公式，注意正难则反的思想.

★★★突破重难点

[范例1]某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。

(I)求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。

(II)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。

解：设 表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；

表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；

(1)依题得

(2)法一：所求的概率为

法二：所求的概率为

.

[点晴]本题考查了古典概率，其关键是利用排列组合的方法求出m，n。

[变式]盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；

(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；

(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.

解：(I)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，

(II)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则

(III)“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为　　

所以：

[点晴]注重解题的规范以及分类、分步计数原理的正确使用。

[范例2]甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是,　 , .现3人各投篮1次,求:

(Ⅰ)3人都投进的概率;

(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率.

解:(Ⅰ)记"甲投进"为事件A₁ ， "乙投进"为事件A₂ ， "丙投进"为事件A₃，

则 P(A₁)= ， P(A₂)= ， P(A₃)= ，∴P(A₁A₂A₃)= × ×=

∴3人都投进的概率为

(Ⅱ)设“3人中恰有2人投进"为事件B

P(B)=P(A₂A₃)+P(A₁A₃)+P(A₁A₂)=(1－)× × + ×(1－)× + × ×(1－) =

∴3人中恰有2人投进的概率为

[点睛]已知概率求概率，利用乘法和加法公式解决独立、互斥问题，必须注意什么条件用什么公式。

[变式]某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求

(1)甲、乙两人都没有中奖的概率；

(2)甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．

解:(1)

(2)方法一：

方法二：

方法三：

[点晴]注重方法的多样性，特别至多、至少等概率问题常根据正难则反的思想，利用对立事件的概率公式解题。

[范例3]甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：

(1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；

(2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．

解：(Ⅰ)甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为

乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为

故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为

(Ⅱ)解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为

故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为

解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为

甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为

甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为

甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为

故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为

[点晴]n次独立重复试验的使用需注意其条件和含义，本题还涉及对立事件的概率公式及加法公式。

[变式]某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):

(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;

(Ⅱ)至少关闭一家煤矿的概率.

解：(Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.

所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 .

(Ⅱ)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是 ，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是

[点晴]这是变形转化后的n次独立重复试验的问题，首先考虑个体，即每家煤矿整改的概率，再解决整体，注意转化问题的等价性。

[范例4]某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：

(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；

(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.

解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，

则P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9.

(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率

　 p₁=P(A·B· )+P( ·B·C)+P(A· ·C)+P(A·B·C)=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.

(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率

　 p₂= P(A·B)+ P(B·C)+ P(A·C)= ×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9) =0.43

[点晴]概率源于生活和实践，注重题意的理解和实际问题的等价转换。

[变式]A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为 ，服用B有效的概率为 。

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；

(Ⅱ)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。

解: (1)设A_i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依题有P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = , P(B₁)=2× × = ,

所求概率为: P=P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)= × + × + × =

(Ⅱ)所求概率为: P=1－(1－)³=

[点晴]本小题主要考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.

★★★自我提升

1.相互独立事件同时发生的概率,其关键是利用排列组合的内容求解m，n.

6．甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．

(Ⅰ) 从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率(用数字作答)；

(Ⅱ) 从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率.

[专家解答]

(I)任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为

(II)解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为

解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为：

★★★高考要考什么

[考点透视]

等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验.

[热点透析]

5．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两

个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，

则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　85　　分.

4．某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是　 　　．(结果用分数表示)

3．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任

意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 　(结果用分数表示)

2．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为(　 C　 )

A． 　　　　 B． 　　　　　 C． 　　　　　　 D．

1．甲：A₁、A₂是互斥事件；乙：A₁、A₂是对立事件，那么(　 B　 )

A. 甲是乙的充分但不必要条件　　 B. 甲是乙的必要但不充分条件

C. 甲是乙的充要条件　 　D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件