2．(06江西卷)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1) f ¢ (x) ³0，则必有( C　 )

A．　　 f(0)+f(2)<2f(1)　　　　　　 B. f(0)+f(2) £2f(1)

C.　 f(0)+f(2) ³2f(1)　　　　　　　 D. f(0)+f(2) >2f(1)

解：依题意，当x³1时，f ¢ (x)³0，函数f(x)在(1，+¥)上是增函数；当x<1时，f ¢ (x)£0，f(x)在(－¥，1)上是减函数，故f(x)当x＝1时取得最小值，即有f(0)³f(1)，f(2)³f(1)，故选C

8.(理) 设函数f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

解法一：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax，

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x+1)+1－a

令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，　　　　　　　　 ……5分

(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，+∞)上是增函数，

又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．　　 ……9分

(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^a－1－1)是减函数，

又g(0)＝0，所以对0＜x＜e^a－1－1，都有g(x)＜g(0)，

即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

综上，a的取值范围是(－∞，1]．　　 ……12分

解法二：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax，

于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．　……3分

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x+1)+1－a

令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，　　　　　　　　 ……6分

当x＞ e^a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，

当－1＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，　　 ……9分

所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^a－1－1≤0．

由此得a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．

8(文)已知函数f(x)= ,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a＞0,d＞0.设 ［1- ］上， ，在 ，将点 A， B， C

　 (I)求

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为 ，求a ,d的值

[解析](I):

令 ,得

当 时, ;　 当 时,

所以f(x)在x=-1处取得最小值即

(II) 的图像的开口向上,对称轴方程为

由 知 在 上的最大值为

即

又由 当 时, 取得最小值为

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以

又由三角形ABC的面积为 得

利用b=a+d,c=a+2d,得

联立(1)(2)可得 .

解法2:

又c>0知 在 上的最大值为 即:

又由 当 时, 取得最小值为

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以

又由三角形ABC的面积为 得

利用b=a+d,c=a+2d,得

联立(1)(2)可得

7. 已知函数 ，其中 是的导函数

(Ⅰ)对满足 的一切 的值，都有 ，求实数 的取值范围；

(Ⅱ)设 ，当实数 在什么范围内变化时，函数 的图象与直线 只有一个公共点。

解：(Ⅰ)由题意 ， 令 ，

对 ，恒有 ，即

∴ 　 即 ，解得

故 时，对满足 的一切 的值，都有

(Ⅱ)

①当 时， 的图象与直线 只有一个公共点

②当 时，列表：

∴

又∵ 的值域是 ，且在 上单调递增

∴当 时函数 的图象与直线 只有一个公共点。

当 时，恒有

由题意得 ，即 ，解得

综上， 的取值范围是

6．过点A(2，－1)作曲线y=x³+x²－2x的切线，则切线的方程　　　　

　x+y=0或x+4y+2=0或31x－y－63=0

5． 当 　　　　 时， 在 上是减函数．

3． (浙江卷11)设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是

(理4(理)．函数 的单调减区间是( A　 )

A． 　　　　 B． 　　 C． 及 　　 D．

4(文).函数 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是　　　 (　　　 )

A.1，-1　　　　 B.1，-17　　　 C.3，-17　　　 D.9，-19

2．过点(－1，0)作抛物线 的切线，则其中一条切线方程为(D)

A. 　 B. 　 C. 　 D.

3.综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。

★★★高考将考什么

[范例1]已知函数 在 处取得极值.

　 (1)讨论 和 是函数 的极大值还是极小值；

(2)过点 作曲线 的切线，求此切线方程.

　 (1)解： ，依题意， ，即

　 解得 . ∴ .

　 令 ，得 .

若 ，则 ，故

在 上是增函数，

在 上是增函数.

若 ，则 ，故 在 上是减函数.

所以， 是极大值； 是极小值.

(2)解：曲线方程为 ，点 不在曲线上.

设切点为 ，则点M的坐标满足 .

因 ，故切线的方程为

注意到点A(0，16)在切线上，有

　 化简得 ，解得 .

所以，切点为 ，切线方程为 .

[点晴]过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.

[文]

已知函数f(x)＝x³+ax²+bx+c在x＝－ 与x＝1时都取得极值

(1)　　 求a、b的值与函数f(x)的单调区间

(2)　　 若对xÎ(－1，2)，不等式f(x)<c²恒成立，求c的取值范围。

解：(1)f(x)＝x³+ax²+bx+c，f¢(x)＝3x²+2ax+b

由f¢( )＝ ，f¢(1)＝3+2a+b＝0得a＝ ，b＝－2

f¢(x)＝3x²－x－2＝(3x+2)(x－1)，函数f(x)的单调区间如下表：

所以函数f(x)的递增区间是(－¥，－ )与(1，+¥)，递减区间是(－ ，1)

(2)f(x)＝x³－ x²－2x+c，xÎ(－1，2)，当x＝－ 时，f(x)＝ +c

为极大值，而f(2)＝2+c，则f(2)＝2+c为最大值。要使f(x)<c²(xÎ(－1，2))恒成立，只需c²>f(2)＝2+c，解得c<－1或c>2

[范例2]设函数 ，求a的取值范围，使函数f(x)在区间 上是单调函数。

解：

(1)当 时， 恒成立， 　f(x)在区间 上是减函数。

(2)当 时，解不等式 得

上f(x)是单调递减速函数

得

上f(x)是单调递增函数

综合得：当且仅当a 时，f(x)在区间 上是单调函数。

[点晴]由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视

[文]设 ，点P( ，0)是函数 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

(Ⅰ)用 表示a，b，c；

(Ⅱ)若函数 在(－1，3)上单调递减，求 的取值范围.

解：(I)因为函数 ， 的图象都过点( ，0)，所以 ，

　 即 .因为 所以 .

　　　 又因为 ， 在点( ，0)处有相同的切线，所以

　　　 而

　　　 将 代入上式得 　 因此 故 ， ，

(II)解法一 .

当 时，函数 单调递减.

由 ，若 ；若

由题意，函数 在(－1，3)上单调递减，则

所以

又当 时，函数 在(－1，3)上单调递减.

所以 的取值范围为

解法二：

　　　 因为函数 在(－1，3)上单调递减，且 是(－1，3)

上的抛物线，

　　　 所以 　 即 解得

　　　 所以 的取值范围为

[范例3]设定义在R上的函数f(x)＝a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x(其中a_i∈R，i＝0，1，2，3)，当时，f(x)取得极大值，并且函数y＝f′(x)的图象关于y轴对称。

⑴求f(x)的表达式；

⑵试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；

⑶求证：|f(sinx)－f(cosx)|≤)(x∈R)．

解：∵f′(x)＝4a₀x³+3a₁x²+2a₂x+a₃为偶函数。

∴a₀＝a₂＝0，∴f(x)＝a₁x³+a₃x

又当x＝－时，f(x)取得极大值

∴ 解得∴f(x)＝x³－x，f′(x)＝2x²－1

⑵解：设所求两点的横坐标为x₁、x₂，则(2x₁²－1)(2x₂²－1)＝－1

又∵x₁，x₂∈[－1，1]，∴2x₁²－1∈[－1，1]，2x₂²－1∈[－1，1]

∴2x₁²－1，2x₂²－1中有一个为1，一个为－1，

∴x₁＝0，x₂＝±1，∴所求的两点为(0，0)与(1，－)或(0，0)与(－1，)。

⑶证明：易知sinx∈[－1，1]，cosx∈[－1，1]。

当0<x<时，f′(x)<0；当<x<1时，f′(x)>0。

∴f(x)在[0，]为减函数，在[，1]上为增函数，

又f(0)＝0，f()＝－ ，f(1)＝－，而f(x)在[－1，1]上为奇函数，

∴f(x)在[－1，1]上最大值为，最小值为－，

∴f(sinx)∈[－，]，f(cosx)∈[－，]，

∴|f(sinx)－f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤…

[点晴]本题证明不等式的关键是转化为求最值问题

[文]已知 是二次函数，不等式 的解集是 且 在区间 上的最大值是12。

　　　 (I)求 的解析式；

　　　 (II)是否存在实数 使得方程 在区间 内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。

解：(I) 是二次函数，且 的解集是

可设

在区间 上的最大值是

由已知，得

(II)方程 等价于方程

设 则

当 时， 是减函数；

当 时， 是增函数。

方程 在区间 内分别有惟一实数根，而在区间 内没有实数根，

所以存在惟一的自然数 使得方程 在区间 内有且只有两个不同的实数根。

[范例4]已知函数 .

　 (1)求函数 的反函数 的导数

　 (2)假设对任意 成立，求实数m的取值范围.

解：(1) ；

(2)

令：

所以 都是增函数.因此当 时， 的最大值为 的最小值为 而不等式②成立当且仅当 即 ，于是得 　

解法二：由 得

设

于是原不等式对于 恒成立等价于 　③…7分

由 ，注意到

故有 ，从而可 均在

上单调递增，因此不等式③成立当且仅当

即

[点晴]求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.

[文]如图所示，曲线段OMB ： 　在点 (即点M)处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，且BA 轴于A，

(II)求 QAP的面积g(t)的最大值. 同时指出g(t)

在(m ，n)上单调递减时 的最小值。

解：(I) K= 　= 2 t,切线方程为 y–t ² = 2t(x-t),

即y = 2 t x - t² (　 0 < t < 6 )　　　　　　　　　　　　　　　

(II)在切线方程中

令y = 0得 x = 　

函数 在 上单调递增；在 上单调递减

依题知 的最大值是6，

故 　的最小值是

[自我提升]

1函数 有极值的充要条件是( B　 )

A． 　　　 B． 　　 C． 　　　 D．

2.导数的简单应用，利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。

1.考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。