5. 导数与其他方面的知识的综合

　★★★高考将考什么

[范例1]设函数f(x)=ax³-2bx²+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值- 。

(1)求a、b、c、d的值；

(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；

(3)若x₁,x₂∈[-1,1]时，求证：|f(x₁)-f(x₂)|≤ 。

解答(1) ∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=- f(x).

∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立.

∴b=0,d=0,即f(x)=ax³+cx.　 ∴f′(x)=3ax²+c.

∵x=1时,f(x)取极小值- .　 ∴f′(1)=0且f(1)=- ,

即3a+c=0且a+c=- .　 解得a= ,c=-1.

(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在

两点A(x₁,y₁)、B(x₂+y₂)，使得过这两点的切线互相垂直，

则由f′(x)=x²-1，知两点处的切线斜率分别为k₁=x₁²-1,k₂=x₂²-1,

且(x₁²-1)(x₂²-1)=-1.　　　　 (*)

∵x₁、x₂∈[-1,1],　 ∴x₁²-1≤0，x₂²-1≤0

∴(x₁²-1)(x₂²-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.

(3)证明：∵f′(x)=x²-1,由f′(x)=0,得x=±1.

当x∈(-∞，-1)或(1，+∞)时，f′(x)＞0; 当 x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.

∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且f_max(x)=f(-1)= , f_min(x)=f(1)= - .

∴在[-1,1]上，|f(x)|≤ .

于是x₁,x₂∈[-1,1]时，|f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤ + = .

故x₁,x₂∈[-1,1]时,|f(x₁)-f(x₂)|≤ .

[点晴]①若x₀点是y=f(x)的极值点，则f′(x₀)=0,反之不一定成立；

②在讨论存在性问题时常用反证法；

③利用导数得到y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键.

[文]设函数

　　 (1)求函数 的单调区间、极值.

(2)若当 时，恒有 ，试确定a的取值范围.

解答：(1) = 　

令 得 　

列表如下：

∴ 在(a，3a)上单调递增，在(-∞，a)和(3a，+∞)上单调递减

时， ， 时， 　

(2)

∵0<a<1，∴对称轴 ，

∴ 在[a+1，a+2]上单调递减

∴ ，

依题 ， 　

即

解得 ，又0<a<1

∴a的取值范围是

[范例2]已知

(1)当 时, 求证f(x)在(-1,1)内是减函数;

(2)若y= f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.

解答：(1) ∵ ∴

∵ , ∴

又∵二次函数f ¢ (x)的图象开口向上,

∴在 内f ¢ (x)<0, 故f(x)在 内是减函数.

(2)设极值点为 则f ¢ (x₀)=0

当 时, ∵

∴在 内f ¢ (x)>0, 在 内f ¢ (x)<0.

即f(x)在 内是增函数, f(x)在 内是减函数.

当 时f(x)在 内有且只有一个极值点, 且是极大值点.

当 时, 同理可知, f(x)在 内且只有一个极值点, 且是极小值点.

当 时, 由(1)知f(x)在 内没有极值点.

故所求a的取值范围为

[点晴]三次函数求导后为二次函数，考查导函数的性质，结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转换能力和待定系数法是近年高考的热点题型。

[文]已知函数 ( 、 )。

(Ⅰ)若 的图像在 部分在 轴的上方，且在点 处的切线与直线 平行，求 的取值范围；

　　　 (Ⅱ)当 、 ，且 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。

解答：(Ⅰ) 。依题意，有 ，所以 。

因为 的图像在 部分在 轴上方，所以 在区间 上的最小值大于零。令 ，于是由 ， ， ， 知： 在区间 上的最小值为 ，故有 ；

(Ⅱ) ( )，即当 时， ，即 恒成立，由此得

。

[范例3]设函数f(x)与数列{a_n}满足下列关系：①a₁＞a，其中a是方程f(x)=x的实数根；②a_n+1=f(a_n) (nÎN*)；③f(x)的导函数f′(x)∈(0，1)；

⑴证明：a_n＞a；(nÎN*)；⑵判断a_n与a_n+1的大小，并证明你的结论。

解答：(1)证明：用数学归纳法

①n=1时，a₁＞a成立

②假设n=k时，a_k＞a成立，

则n=k+1时，由于f′(x)>0，∴f(x)在定义域内递增

∴ ，即 　

∴n=k+1时，命题成立

由①②知，对任意 ，均 　

(2)解：令 ，则∵ ，∴ ∴ 递减，

∴ 时， ，即 ，∴ 　

猜测 ，下证之

①n=1时， 成立

②假设n=k时， 成立

则n=k+1时，由于 递增，∴ ，即

∴n=k+1时，命题成立　

由①②知，对任意 ，均

[点晴]由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为今后高考的重点内容，在复习中要足够地重视。

[文]已知平面向量 =( ,-1). =( , ).

(1)证明 ⊥ ；

(2)若存在不同时为零的实数k和t，使 = +(t²-3) ， =-k +t ， ⊥ ，试求函数关系式k=f(t)；

(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.

解答：(1)∵ = × +(-1)× =0　 ∴ ⊥ .

(2)∵ ⊥ ，∴ =0　 即[ +(t²-3) ]·(-k +t )=0.

整理后得-k +[t-k(t²-3)] + t(t²-3)· =0

∵ =0， =4， =1，

∴上式化为-4k+t(t²-3)=0，即k= t(t²-3)

(3)讨论方程 t(t²-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t²-3)与直线y=k的交点个数.

于是f′(t)= (t²-1)= (t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t₁=-1,t₂=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：

当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)_极大值= .

当t=1时，f(t)有极小值，f(t)_极小值=- .

函数f(t)= t(t²-3)的图象如图13－2－1所示，

可观察出：

(1)当k＞ 或k＜- 时,方程f(t)-k=0有且只有一解；

(2)当k= 或k=- 时,方程f(t)-k=0有两解；

(3) 当- ＜k＜ 时,方程f(t)-k=0有三解.

[点晴]导数的应用为作函数的草图提供了新途径，方程根的个数与极值的正负有关。

[范例4]已知双曲线 与点M(1，1).

(1)求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；

(2)设(1)中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。

解答：(1)证明：设 ，要证命题成立只需要证明关于t的方程 有两个符号相反的实根。

　 ，且t≠0，t≠1。

设方程 的两根分别为t₁与t₂，则由t₁t₂=m<0，知t₁，t₂是符号相反的实数，且t₁，t₂均不等于0与1，命题获证。

(2)设 ，由(1)知，t₁+t₂=2m，t₁t₂=m，从而

，即线段AB的中点在直线 上。

又 ， AB与直线 垂直。

故A与B关于 对称，

设 ，则

有t²-2mt+m=0　　　　　　　　　　 ①

由 及夹角公式知

，即 　　　 ②

由①得 　　　　 　　　　　　　　　③

从而

由②知 ，代入③知

因此， 。

[点晴]本题的关键在于实现了导数的几何意义和曲线切线的斜率和谐的沟通。应深切领会导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用

[文]设抛物线y=x²与直线y=x+a(a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l₁，l₂，求值a变化时l₁与l₂交点的轨迹。

解答：将y=x+a代入y=x²整数得x²－x－a=0①,为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△= (－1)²+4a＞0，所以a＞－

设此两交点为(α，α²)，(β, β²)，α＜β，由y=x²知y′=2x，则切线l₁，l₂的方程为y=2αx－α²，y=2βx－β².

两切线交点为(x，y)　 则 　　

因为α，β是①的解，由违达定理可知α+β=1，αβ=－a

由此及②可得x= ，y=－a＜

从而，所求的轨迹为直线x= 上的y＜ 的部分

[自我提升]

4. 通过构造函数,以导数为工具,证明不等式.

3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题;

2. 函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;

1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;

9.(湖南卷)曲线 和y=x²在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积

是　　　　 .

解析：曲线 和y=x²在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是 .

(安徽卷)设函数f(x)=x³+bx²+cx(xÎR)，已知g(x)= f(x)- f ¢ (x)是奇函数。

(Ⅰ)求b、c的值。

(Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值。

[专家解答]：(Ⅰ)∵f(x)=x³+bx²+cx，∴f ¢ (x)=3x²+2bx+c.从而g(x)= f(x)- f ¢ (x)= x³+bx²+cx-(3x²+2bx+c)＝x³+(b-3)x²+(c-2b)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0得c=0，由奇函数定义得b=3；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=x³-6x，从而g ¢ (x)=3x²-6，由此可知，

和 是函数g(x)是单调递增区间；

是函数g(x)是单调递减区间；

g(x)在 时，取得极大值，极大值为 ，g(x)在 时，取得极小值，极小值为 。

★★★高考要考什么

[考点透视]

从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：

第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。

第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；

第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。

[热点透析]

导数综合试题,主要有以下几方面的内容:

6.(浙江卷)f (x)=x³-3x²+2在区间[-1,1]上的最大值是

(A)-2　　　　 　　　　(B)0　　　 　　　　　　(C)2　　　 　　　　　(D)4

解：f ¢ (x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f ¢ (x)=0可得x＝0或2(2舍去)，当－1£x<0时，f ¢ (x)>0，当0<x£1时，f ¢ (x)<0，所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2。选C

5.(06天津卷)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f ¢ (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(　　 )

A．1个 　　　　　　B．2个

C．3个　　　　　　 D． 4个

解析：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f ¢ (x)在(a,b)内的图象如图所示，函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.

4.(06四川卷)曲线y=4x-x³在点(-1,-3)处的切线方程是

(A)y=7x+4　 (B)y=7x+2 　　(C)y=x-4　 　　(D)y=x-2

解：曲线y=4x-x³，导数y¢=4-3x²，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D.

3．(06全国II)过点(－1，0)作抛物线y=x²+x+1的切线，则其中一条切线为

　(A)2x+y+2=0　 (B)3x-y+3=0　 (C)x+y+1=0　 (D)x-y+1=0

解：y¢=2x+1，设切点坐标为(x₀,y₀)，则切线的斜率为2x₀+1，且y₀=x₀²+x₀+1

于是切线方程为y-(x₀²+x₀+1)=(2x₀+1)(x-x₀)，因为点(－1，0)在切线上，可解得

x₀＝0或－4，代入可验正D正确。选D