3. 若数列{a_n}满足若，则的值为(　 B )

(A) 　　　　　(B) 　　　　　(C) 　　　　　　(D)

2. 数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n∈N*满足以下运算性质：

(1) 2_*2 = 1，(2) ( 2n + 2) _* 2 = 3(2n _* 2)．则2n_*2用含n的代数式表示为 3^n-1_

1. 设数列的前n项和为，令，称为数列，，…，的“理想数”，已知数列，，…，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为(A)

(A) 2002　　　　　 (B) 2004　　　　 (C) 2006　　　　 (D) 2008

6．已知函数f (x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与

经过(0，0)和(x,f (x))两点的直线平行(如图).

求证：当n时，

　(Ⅰ) 　x

(Ⅱ).

[专家解答](I ) 证明：因为

所以曲线在处的切线斜率

即和两点的直线斜率是 以.

(II)因为函数，当时单调递增，

而，

所以，即　 　因此

又因为　 令　 则

因为　　 所以

因此　 故

★★★高考要考什么

[考点透视]

本专题是等差(比)数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．

[热点透析]

高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在

一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：

(1)由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、

推理与综合能力．

(2)给出S_n与a_n的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．

(3)以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．

理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．

★★★突破重难点

[范例1]已知数列中，对一切自然数，都有且

．

求证：(1)；

　　　 (2)若表示数列的前项之和，则．

解析： (1)由已知得，

又因为，所以, 因此，即．

(2) 由结论(1)可知 　，即，

于是，

即．

[点睛]从题目的结构可以看出，条件是解决问题的关键，必须从中找出和的关系．

[文]记

　 (Ⅰ)求b₁、b₂、b₃、b₄的值；

　 (Ⅱ)求数列的通项公式及数列的前n项和

解析(I)

整理得

(Ⅱ)由

所以

[范例2]设数列的前项的和，

(Ⅰ)求首项与通项；

(Ⅱ)设，，证明：

解析 　(Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… 　　①　

得 a₁=S₁= a₁－×4+ 所以a₁=2.

再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…

将①和②相减得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),　 n=2,3, …

整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n=2,3, …, 因而数列{a_n+2ⁿ}是首项为a₁+2=4,公比为4的等比数列，即a_n+2ⁿ = 4×4 ^n－1= 4 ⁿ, n=1,2,3, …, 因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n=1,2,3, …

(Ⅱ) 　S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2) = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)　　

　　　 T_n= = × = ×( － )

所以 = － )　 = ×( － ) <

[点睛]S_n与a_n始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧．

[文]设数列的前n项和为S_n，若是首项为S₁各项均为正数且公比为q的等比数列.

(1)求数列的通项公式(用S₁和q表示)；

(2)试比较的大小，并证明你的结论.

解析 (1)∵是各项均为正数的等比数列， ∴．

当n=1时，a₁=S₁；　 　当．

∴

(2)当n=1时，

　∴．

当时，

∵

①当q=1时，

②当

③当

综上可知：当n=1时，．当

若　 若

[范例3]由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P₁，再由P₁引此曲线的切线，切于P₁以外的点P₂)，如此进行下去，得到点列{ P_n}}.

求：(Ⅰ)的关系式；

　　　 (Ⅱ)数列的通项公式；

(Ⅲ)当时，的极限位置的坐

解析 (Ⅰ)由题得 　

过点P₁(的切线为

过原点

又过点P_n(的

因为过点P_n-1( 　

整理得

(Ⅱ)由(I)得

所以数列{x_n-a}是以公比为的等比数列

(法2)通过计算再用数学归纳法证明.

(Ⅲ)

的极限位置为(

[点睛]注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．

[文]数列的前项和为，已知

(Ⅰ)写出与的递推关系式，并求关于的表达式；

(Ⅱ)设，求数列的前项和．

解析 由得，

即，所以，对成立．

由，，…，

相加得，又，所以，

当时，也成立．

(Ⅱ)由，得．

而，

，

.

[范例4]设点(，0)，和抛物线：y＝x²+a_n x+b_n(n∈N*)，其中a_n＝－2－4n－，由以下方法得到：

　x₁＝1，点P₂ (x₂，2)在抛物线C₁：y＝x²+a₁x+b₁上，点A₁(x₁，0)到P₂的距离是A₁到C₁上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x²+a_n x+b_n上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．

　(Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

　(Ⅱ)证明{}是等差数列．

解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0),　 C₁：y=x²-7x+b₁.

设点P(x,y)是C₁上任意一点,则|A₁P|=

令f (x)=(x-1)²+(x²-7x+b₁)², 则

由题意得, 即

又P₂(x₂,0)在C₁上,　 ∴2=x₂² -7x₂+b₁

解得x₂=3, b₁=14. 故C₁方程为y=x²-7x+14.

(Ⅱ)设P(x,y)是C₁上任意一点,则

|A_nP|=

令g(x)=(x-x_n)²+(x²+a_nx+bn)²,则,

由题意得,,即=0,

又∵,∴(x_n+1-x_n)+2ⁿ(2x_n+1+a_n)=0(n≥1),

即(1+2ⁿ⁺¹)x_n+1- x_n+2 ⁿ a_n =0,　 (*)

下面用数学归纳法证明x_n=2n-1.

①　　　 当n=1时,x₁=1,等式成立.

②　　　 假设当n=k时,等式成立,即x_k=2k-1.

则当n=k+1时,由(*)知(1+2^k+1)x_k+1-x_k+2^ka_k=0,　 (*)

又a_k=-2-4k-,∴.

即当n=k+1,时等式成立.

由①②知,等式对n∈N⁺成立,∴{x_n}是等差数列.

[点睛]注意第(1)小题其实是第(2)小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段．

[文]已知数列满足

(I)证明：数列是等比数列；

(II)求数列的通项公式；

(II)若数列满足证明是等差数列．

解析 (I)证明：　

是以为首项，2为公比的等比数列．

(II)解：由(I)得

(III)证明：　

　　　　 ①

　②

②－①，得

即　　 　③

　　　④

④－③，得　 即

　　 是等差数列．

★★★自我提升

5．已知n次式项式.

若在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P₃(x₀)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，则计算P₁₀(x₀)的值共需要　 65 　次运算.

下面给出一种减少运算次数的算法：P₀(x)=a₀，P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0，1，2，…，n－1).利用该算法，计算P₃(x₀)的值共需要6次运算，计算P_n(x₀)的值共需要　　　 2n　　　 次运算.　　　

4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　2ⁿ⁺¹-2 　　.

3．在数列{a_n}中，若a₁=1,a_n+1=2a_n+3 (n≥1),则该数列的通项a_n=__2 ⁿ⁺¹-3___.

2．在数列中，，且，则　 35 ．

1．已知数列{ a_n }的前n项和为S_n，且S_n=2(a_n -1)，则a₂等于(　 A　 )

A. 4　　　　 B. 2　　 　　C. 1　　　 　D. -2

8．(理)数列{}的前项和满足：

(1)求数列{}的通项公式；

(2)数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

解析：(1)当时有：

两式相减得：

∴数列{}是首项6，公比为2的等比数列．

从而

(2)假设数列{}中存在三项，它们可以构成等差数列，

 因此只能是，

即

、、均为正整数，

∴(*)式左边为奇数右边为偶数，不可能成立。

因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项。

[文]在等差数列中，，前项和满足，

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)记，求数列的前项和．

解析(Ⅰ)设等差数列的公差为，由得，

所以，即，所以．

(Ⅱ)由，得．故，

当时，；

当时，，

即．