6.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a　 (a是常数)　　　　　　　 (　　 )

A.有且仅有一个实根　 B.至多一个实根　　 C.至少一个实根　 D.不同于以上结论

5.如果函数f(x)＝x+bx+c对于任意实数t，都有f(2+t)＝f(2－t)，那么(　　 )

A. f(2)<f(1)<f(4)　　　　　　 B. f(1)<f(2)<f(4)　

C. f(2)<f(4)<f(1)　　　　　　 D. f(4)<f(2)<f(1)

4.方程lgx+x＝3的解所在的区间为　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.　 (0,1)　　　 B.　 (1,2)　　 C.　 (2,3)　　 D.　 (3,+∞)

3．已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数

　　 是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是

　　　 A．a≤1　　　　　　　　　 B．a<2　　　　　　　　　　 C．1<a<2　　　　　　　 D．a≤1或a≥2

2．方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是　　　　　 (　　 )

1．对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是　　 (　　 )　　　 A． 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．g(t)=(t－1)²　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．g(t)=cost

2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力

高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的．

函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．

例2．方程lgx+x=3的解所在区间为　　　 (　)

A．(0，1)　　　　　 B．(1，2)

C．(2，3)　　　　　 D．(3，+∞)

分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C．

说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．

例3．(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；

(2)试用上面结论证明下面的命题：

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．

分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．

(1)证明：

当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；

当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．

所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．

(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则

f(a)=(b+c)a+bc+1．

当b+c=0时，即b=-c，　　 f(a)=bc+1=-+1．

因为|c|＜1，所以f(a)=-+1＞0．

当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数．

因为|b|＜1，|c|＜1，

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0，　 f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．

由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．

说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0) .

例4．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．

(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　 ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，　 k·3＜-3+9+2，

3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：

分离系数由k·3＜-3+9+2得

上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．

[专题突破]

1．准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识

在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展．

例1．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1}中所含元素的个数是．(　　 )

A．0　　　 B．1　　　 C．0或1　　　 D．1或2

分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C．

7.函数的零点

例16、(2008山东荷泽模拟题)函数的零点所在的区间是　　 )

　　　 A． B．(1，10) C． D．

解：因为f(1)＝0－1＜0，f(10)＝1－＞0，即f(1)•f(10)＜0，

所以函数f(x)在区间(1,10)之间有零点。

［点评］：如果函数f(x)在区间［a，b］上连续，且f(a)•f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容。

例17、(2007广东高考题)已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，

求实数a的取值范围.

[解析]当a=0时，函数为f　(x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上。

当a≠0时，函数f　(x) 在区间[-1，1]分为两种情况：

①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时

或

解得1≤a≤5或a=　　　　　　　　　　　　

②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时

　 　　　　或

解得a5或a<

综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为

(-∞,　　　　 ]∪[1, +∞)

[专题综合]

6.函数的综合应用

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．

　例14、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x(单位：元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=)

[解析]：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得

则，令，即，解得

当时，；当时，，

因此，当时，取得最小值，元.

答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

［点评］：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题。利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法.

　例15、某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位：元，)的平方成正比.

已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

(I)将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

(II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

[解析]：(Ⅰ)设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有，

又由已知条件，，于是有，

所以．

(Ⅱ)根据(Ⅰ)，我们有．

		2		12
		0		0
		极小		极大

故时，达到极大值．因为，，

所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．

［点评］：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．