7.函数的零点

例16、(2008山东荷泽模拟题)函数的零点所在的区间是　　 )

　　　 A． B．(1，10) C． D．

解：因为f(1)＝0－1＜0，f(10)＝1－＞0，即f(1)•f(10)＜0，

所以函数f(x)在区间(1,10)之间有零点。

［点评］：如果函数f(x)在区间［a，b］上连续，且f(a)•f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容。

例17、(2007广东高考题)已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，

求实数a的取值范围.

[解析]当a=0时，函数为f　(x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上。

当a≠0时，函数f　(x) 在区间[-1，1]分为两种情况：

①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时

或

解得1≤a≤5或a=　　　　　　　　　　　　

②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时

　 　　　　或

解得a5或a<

综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为

(-∞,　　　　 ]∪[1, +∞)

6.函数的综合应用

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．

　例14、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x(单位：元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=)

[解析]：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得

则，令，即，解得

当时，；当时，，

因此，当时，取得最小值，元.

答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

［点评］：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题。利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法.

　例15、某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，

且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位：元，)的平方成正比.

已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

(I)将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

(II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

[解析]：(Ⅰ)设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，

则依题意有，

又由已知条件，，于是有，

所以．

(Ⅱ)根据(Ⅰ)，我们有．

		2		12
		0		0
		极小		极大

故时，达到极大值．因为，，

所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．

［点评］：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法.

总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.

例13、定义在上的函数满足()，，则等于(　　 )

A．2　　　　　　 B．3　　　　　　　 C．6　　　　　　 D．9

解：令，令；

令得

2、在求函数值时，可用特殊值代入

函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等.

(二 )特殊化方法

1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成－x等

21．已知，奇函数在上单调．

(Ⅰ)求字母应满足的条件；

(Ⅱ)设，且满足，求证：．

20．已知偶函数f(x)=cosqsinx－sin(x－q)+(tanq－2)sinx－sinq的最小值是0，求f(x)的最大值 及此时x的集合．

19. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。

18. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA·tanC＝2+，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角.

17. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。