2．总体密度曲线的定义：

在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。(见课本P₆₀)

[思考]：

1．频率分布折线图的定义：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。

2.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2课时)

教学目标：

知识与技能

(1) 通过实例体会分布的意义和作用。

(2)在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。

(3)通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。

过程与方法

通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

情感态度与价值观

通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。

重点与难点

重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。

难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。

教学设想

[创设情境]

在NBA的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕

甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50

乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33

请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？

如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容--用样本的频率分布估计总体分布(板出课题)。

[探究新知]

[探究]：P₅₅

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？(让学生展开讨论)

为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。(如课本P₅₆)

分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式。

下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。

〈一〉频率分布的概念：

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：

(1)　　　 计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差

(2)　　　 决定组距与组数

(3)　　　 将数据分组

(4)　　　 列频率分布表

(5)　　　 画频率分布直方图

以课本P₅₆制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。(让学生自己动手作图)

频率分布直方图的特征：

(1)　　　 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。

(2)　　　 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。

[探究]：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同。不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？(把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进行交流……)

接下来请同学们思考下面这个问题：

[思考]：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，(见课本P₅₇)你能对制定月用水量标准提出建议吗？(让学生仔细观察表和图)

〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线

4、对某单位1000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：

试利用上述资料设计一个抽样比为1/10的抽样方法。

3、某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n的样本，则n=　　 。

2、某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为　　　　 人，A型血应抽取的人数为　　　　 人，B型血应抽取的人数为　　　　　 人，AB型血应抽取的人数为　　　　 人。

1、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是　　 (　 )

A．简单随机抽样

B．系统抽样

C．分层抽样

D．先从老人中剔除1人，然后再分层抽样

2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。

　 [评论设计]

(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分。

(2)按比例确定每层抽取个体的个数。

(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。

(4)综合每层抽样，组成样本。

[说明]

(1)分层需遵循不重复、不遗漏的原则。

(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定。

(3)各层抽样按简单随机抽样进行。

探究交流

(1)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　　 A、每层等可能抽样

　　 B、每层不等可能抽样

　　 C、所有层按同一抽样比等可能抽样

　　 (2)如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n

样本，那么每个个体被抽到的可能性为　　　　　　　 (　 )

　　　　　 A．　 B.　　 C.　　 D.

点拨：

(1)保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽

共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的，故此选C。

　　 (2)根据每个个体都等可能入样，所以其可能性本容量与总体容量

比，故此题选C。

知识点2　 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较

[例选精析]

例1、　 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为

A.15,5,25　　　　　 B.15,15,15

C.10,5,30　　　　　 D15,10,20

[分析]因为300：200：400=3：2：4，于是将45分成3：2：4的三部分。设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为15，10，20，故选D。

例2：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程。

[分析]采用分层抽样的方法。

解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：

(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层。

(2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。

300×3/15=60(人)，300×2/15=100(人)，300×2/15=40(人)，300×2/15=60(人)，因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人。

(3)将300人组到一起，即得到一个样本。

[课堂练习]P52　 练习1. 2. 3

[课堂小结]

1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：

(1)、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。

(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。

(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。

[说明]分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：

(1)分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。

(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。