1．(1) ， ，

　　　 ， ，

　　　 ，

　(2) ， ，

 ， ，

 ，

3．化简

　(1)

　(2)

　(3)

　(4)

参考答案：

2．计算

　(1)

　(2)

　(3)

　(4)

1．已知角 的终边经过下列各点，求角 的六个三角函数值．

　(1) 　　 (2)

4．本课小结

　利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角 的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．

　分类讨论(角位置)是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴．

课时作业：

3．反馈训练

(1)若角 终边上有一点 ，则下列函数值不存在的是(　　　 )．

　A． B． C． D．

(2)函数 的定义域是(　　　 )．

　A．B．

　C． D．

(3)若 ， 都有意义，则 ．

(4)若角 的终边过点 ，且 ，则 ．

参考答案：(1)D；(2)B；(3) 或8，说明点 在半径为 的圆上；(4)－6．

2．探索研究

(1)复习回忆锐角三角函数

　我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值，定义了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角 是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．

(2)任意角的三角函数定义

　如图1，设 是任意角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为 ，则 ．

定义：①比值 叫做 的正弦，记作 ，即 ．

　②比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ．

图1

　③比值 叫做 的正切，记作 ，即 ．

　同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件

提问：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢？

　利用三角形相似的知识，可以得出对于角 ，这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关，只与角 的大小有关．

　请同学们观察当 时， 的终边在 轴上，此时终边上任一点 的横坐标 都等于0，所以 无意义，除此之外，对于确定的角 ，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．

　④比值 叫做 的余切，记作 ，则 ．

　⑤比值 叫做 的正割，记作 ，则 ．

　⑥比值 叫做 的余割，记作 ，则 ．

可以看出：当 时， 的终边在 轴上，这时 的纵坐标 都等于0，所以 与 的值不存在，当 时， 的值不存在，除此之外，对于确定的角 ，比值 ， ， 分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．

(3)三角函数是以实数为自变量的函数

　对于确定的角 ，如图2所示， ， ， 分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．

　即：实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)

(4)三角函数的一种几何表示

　利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．

图3

　设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角 的终边(当 为第一、四象限时)或其反向延长线(当 为第二、三象限时)相交于 ，当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 ， 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：

　这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．当角 的终边在 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角 的终边在 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．

(5)例题讲评

　[例1]已知角 的终边经过 ，求 的六个三角函数值(如图4)．

解：∵ 　　

　∴

　提问：若将 改为 ，如何求 的六个三角函数值呢？(分 ， 两种情形讨论)

[例2]求下列各角的六个三角函数值

　(1) ；(2) ；(3) ．

解：(1)∵当 时， ，

　∴ ， ，

 不存在， ， 不存在

　(2)∵当 时， ，

　∴ ，

 不存在　

 不存在　

　(3)当 时， ，

　∴ 　　　　 　　　　　

 不存在　　　 　　　　　 不存在

[例3]作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．(1) ；(2) ．

　解： ， 的正弦线，余弦线，正切线分别为 ．

[例4]求证：当 为锐角时， ．

　证明：如右图，作单位圆，当 时作出正弦线 和正切线 ，连

　∵

　∴

　∴

利用三角函数线还可以得出如下结论

 的充要条件是 为第一象限角．

 的充要条件是 为第三象限角．

练习(学生板演，利用投影仪)

　(1)角 的终边在直线 上，求 的六个三角函数值．

　(2)角 的终边经过点 ，求 ， ， ， 的值．

　(3)说明 的理由． ．

解答：

(1)先确定终边位置

　①如 在第一象限，在其上任取一点 ， ，则

 ， 　　　

　②如 在第三象限，在终边上任取一点 ，则

 　，　 　　　

　(2)若 ，不妨令 ，则 在第二角限

　∴  　　　　

　(3)在 终边上任取一点 ，因为 与 终边相同，故 也为角 终边上一点，所以 成立．

　说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角 的三角函数值，是基本方法之一．当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值．

1．设置情境

　角的范围已经推广，那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．

2．掌握已知角 终边上一点坐标，求四个三角函数值．(即给角求值问题)

教学重点：

　任意角的三角函数的定义．

教学难点：

　任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．

教学用具：

　直尺、圆规、投影仪．

教学步骤：

　(1)由三角函数的定义可知，若已知角 终边上一点，便可求出其各三角函数值，或通过三角函数定义，可知其二求其一．

　三角函数的符号与角所在象限有关，采用上图来记忆．

　　　 (2)必须讲清并强调 这六个比值的大小都与点 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．

　(3)教学中应注意，语言要准确严密．首先“六种函数统称为三角函数”这句话，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数．

　(4)教学中，应当引导学生深刻认识三角函数符号的含义．如， 这个符号，它表示 ，即角 的正弦，不能把 看成 与 的乘积，犹如 不能看成 与 的乘积一样，离开了自变量 ，符号 就没有意义了．同时也应注意，每个函数记号的第一个字母“ ”或“ ”或“ ”都不能大写，不能让学生养成写“ ”、“ ”等习惯．

教学设计示例(一)

任意角的三角函数

教学目标：

1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．