6．若 ， ，则 等于(　　　 )

　A．　B．

　C．　D．

5．下列各结论正确的是( 　　　)

　A．若 ，则

　B． ，则

　C．若 ，则

　D．若 ，则 (其中 )

4．已知不等边△ 中， ① ，② ，③ ，④ 中可能成立的有(　　　 )

　A．1个　B．2个　C．3个　D．4个

3．已知 ， ，则角 等于(　　　 )

　A．　B．　C．　D．

2．已知 是三角形的内角，且 ，则角 等于(　　　 )

　A．　B．　C． 或 　D． 或

1．若 ，则角 为(　　 )

　A． ，　B． ，

　C． ，　D． ，

课题 例1 例2

反正切 概念

演练反馈 总结提炼

典型例题

　例1．已知 ，若(1) ；(2) ．求角

　分析：由正切函数的单调性可知，在开区间 内，符合条件 的角只有一个，而在 内，符号条件 的角就有两个．

　解 (1)由正切函数在开区间 上是增函数可知；符合条件 的角只有一个，即 ．

　(2)∵ ，所以 是第二或第四象限角，

　又∵ ，由正切函数在区间 、 上是增函数知，符合 的角有两个．

　∵ ，且 ，

　∴ ，或 ．

　小结：在某范围内解的个数判断，根据函数性质、三角函数线或三角函数值的符号判断所在象限，然后推广到整个范围．

　例2．用反三角函数表示下列各式中的

　(1)　( )；

　(2)　( )；

　(3)　( )；

　(4)　( )．

　分析：用反三角函数表示角，应先观察题中的角是否在定义中规定的基本范围内，如在，则直接写出；如不在，则应运用诱导公式把角化入基本范围内．

　解：(1)∵ ，∴ ．

　(2)∵ ，∴ ．

　由 ，即 ，

　∴ ，即　 ．

　(3)∵ ，∴ ．

　又 ，

　∴ ，即 ．

　(4)∵ ，∴ ．

　小结：利用反三角函数符号表示角要注意所能表示的范围：

　 ，

　 ，

　 ．

　例3．已知 ．

　(1) ，求 ；

　(2) ，求 的取值集合；

　(3) 时，求 的取值集合．

　分析：当 时，满足 的 ，利用诱导公式可知满足 且 的 有两个值 与 ，利用终边相同角的三角函数值相等可求出 上的所有 的集合．

　解：(1)由 在 上是增函数及 知，符合条件的角有且只有一个，利用反正弦概念得： ．

　(2)当 时，由诱导公式 及 知 ， ．于是所求的 的集合是 ．

　(3)当 时，根据正弦函数的周期性，可知当 或 ， 时， ．因此所求的 的集合是

．

　小结：(1)已知三角函数值求角，一般思路是先求出的给三角函数值的绝对值对应的锐角 ，然后利用诱导公式求出 内的特解 与 ，最后利用三角函数的周期性写出 上的通解．

　(2)本例是从不同的范围，阐述了已知三角函数值求角的方法，有很强的代表性，要认真领会，学会应用，若把正弦切成余弦、正切，也要会求．

　例4．在一个正方形内作一个内接正方形，使这两个正方形面积之比为3：2，求内接正方形一边与原正方形一边之间所成的角．

　分析：关键是设法将两正方形边之比表为其夹角 的函数，列出方程求解．

　解：如图1，设正方形 的内接正方形为 ， ， ．则

　

　　

　依题意有　

　化简得： ，

　即　　 ．

　∵ 为锐角，∴ 或 ，即 或 ．

　小结：将题目转化为已知三角函数值求角问题，在求解过程中尽量转化为一个角的三角函数形式，以便利用所学知识求解．

扩展资料

驾驭着波峰的数学

　如果你是冲浪运动员，你知道有时难以预料何时浪会升起。有时浪在岸边完整地出现，但是当你进入水中时，它已经消失了，因此你就得等待完整波的到来，有时似乎要好几小时。在另外一些时候，完整波一个接一个地来到，可有许多个供你选择。不用说，波理论和波活动性是一个复杂的系统，许多因素影响着和创造着海浪。风、地震、船的尾波，当然还有月亮和太阳所产生的引起潮汐的万有引力，都扰动着海洋。海浪在水面上行动。当有多重的扰动或因素互相作用时，这些波动形式多少有点随机性。19世纪初，对海浪的数学开展了很多研究。在海上和在受控制的实验室中所作的观测，帮助科学家们获得了有趣的结论。1802年在捷克斯洛伐克，弗朗兹·格特纳开始提出最早的波理论。在他的观测中，他记录着波中水粒是如何作圆周运动的。位于波峰(最高点)的水的运动方向与波相同，位于波谷(最低点)的水的运动方向则相反。在水面上，每一水粒都沿着圆形轨道运动，然后回到原位。圆的直径被发现等于波的高度。水的整个深度中水粒都在生成圆。但水粒愈深，它的圆愈小。事实上，人们发现在相当于波长(两个相邻峰之间的水平距离)的1/9的深度，圆形轨道的直径大约是水面上水粒的圆形轨道的直径的一半。

　因为波浪与这些作圆周运动的水粒有关，并且因为正弦曲线和摆线也与转动着的圆有关，这些数学曲线和它们的方程被用来描述海洋波浪就不奇怪了。但是人们发现，波浪既不是严格的正弦曲线，也不是任何别的纯粹的数学曲线。水的深度、风的强度和潮汐只是在描述波浪时必须考察的变量中的几个而已。今天研究波浪时，用到了概率、统计学和复杂性这些数学工具。人们考察了大量小波，并从所收集到的数据提出预测。

*　 *　 *　 *　 *　 *

　海洋波浪的另外一些有趣的数学特性是：

　(1)波长与周期有关。

　(2)波高与周期和波长都无关(有一些例外，但周期和波长的影响很小)。

　(3)当峰角超过120°时，波会破裂。波破裂时，它的大部分能量都消耗掉了。

　(4)确定波何时将会破裂的另一方法是把波高与波长比较。当这比率大于1/7时，波将破裂。

　波高 从峰到谷的垂直距离

　波长 相邻两峰间的水平距离

　

　波周期 波峰行经一个波长所需时间(以秒为单位)

　正弦曲线是一种周期性(有规则地重复它的形状)的三角函数曲线。

　摆线是指一个圆在一直线上平稳地滚动时圆上一定点的轨迹。

扩展资料

用几何画板巧作一段正切曲线

　首先启用几何画板软件(如果您电脑上没有安装该软件，可以到网上免费下载，但4.0版的不免费)，该画法分六步：

　第一步：在图表菜单中选择建立直角坐标系命令，在图表菜单中选绘制点选项，绘制出点 、 、 ．( ，4.0以上版可以直接绘制点 )同时选点 、 轴(按住shift、下同)，在作图菜单中选择平行线选项，做过 点平行于 轴的直线 ，同理可做出过 点的且平行于 轴的直线 ．

　第二步：选择点 、点 ，在作图菜单中选择“以圆心和圆周上的点画圆”选项，做出以 为圆心，以线段 为半径的圆，过 点作出平行于 轴的直线 ，选择圆和 ，在作图菜单中选择“交点”选项，作出 与圆的交点 、 、隐藏 和圆，选择点 、 、 ，在作图菜单中选择“过三点的弧”选项，做出过 、 、 三点的弧，连接点 、点 、做出完整的半圆。

　第三步：选择“点”工具，在半圆上做出一个点 ，按照 、 、 的顺序依次选择三个点，在“度量”菜单中选择“角度”选项，度量出 的大小，在“显示”菜单中选择“参数选择”选项，在对话框中把“角度”改为“弧度”，选择 的度量值，在“图表”菜单中选择“绘制度量值”选项，出现绘制度量值对话框，单击“确定”，屏幕上出现一条垂直于 轴的虚线

　第四步：作出线段 ，在“作图”菜单中，做出过点 的线段 的垂线 ，过 作 的垂直平分线 ，作出直线 和直线 的交点 ，隐藏直线 、 和线段 ，作出线段 ，过点工作直线 的垂线 ，作出 和 的交点 ，隐藏垂线 ，过点 、 作线段 ，选择 点，打开“显示”菜单选择“追踪点”选项，当点 在半圆上运动时，点 的轨迹就是正切图像。

　第五步：选择 点和半圆，打开“编辑”菜单，选择“操作类按钮”选项，在下拉菜单中选择“动画”选项，在“匹配路径”对话框中，根据情况选择您所需要的动画，双击“动画”图标，点 就自动地绕着半圆运动，此时点 的轨迹就是正切 的一段图像

　第六步：同时选择点 和点 ，打开“作图”菜单，选择“轨迹”选项，正切和图像就出现了，选择正切图像，在“编辑”对话框中选择“操作类按钮”中的隐藏就可以根据您的需要显示或隐藏正切图像。

探究活动

　在实际使用计算机投影仪时，常常把投影仪的支架固定在天花板上，如图所示支架的末端P里投影中心O的距离为85.5英寸，俯角是 ，支架PE长18英寸，投影屏幕CD高(上沿与下沿的距离)6英尺，投影屏幕的厚度可以省略．(1英尺等于12英寸)

　(1)画出相关点与线的示意图，分别求出屏幕上沿和下沿D离天花板的距离．(精确到0.01英寸)

　(2)求支架末端P分别与屏幕上沿和下沿连线的夹角 ．

　(3)若(2)中的 ，投影到屏幕上图形或文字会感到失真，如果把上沿C固定，将投影屏幕拉离墙面，那么当下沿 与支架的末端P距离多少英寸时，可使 为 ．

　解：(1)示意图如图所示，设支架的末端为点P，支架在天花板上固定为点E，天花板和投影屏幕所在的墙的交点为点A，屏幕上沿、下沿、中心分别为C、D、O，过P作AD的垂线，垂足为点B，由题意，得

　AB-EP=18，PO=85.5，CD=12×6=72，

　CO=DO=36，∠BPO= ．

　在 中， ，

　所以BC=BO-CO=42.75-36=6.75

　AC=AB+BC=24.75,

　AD=AC+CD=96.75

　所以屏幕上沿和下沿离天花板的距离分别为24．75英寸和96.75英寸．

　(2)在 中，

　在 中，

　在 中，

　所以 ，即 ．

　(3)设 ，在 中，

　 ，

　解得 或 (不符合实际意义，舍去)．

　所以下沿与支架的末端距离101.77英寸时，可使 ．

习题精选

4．总结提炼

　(1)由反正切定义知： ， 　　 ，

　(2)已知： ， ，用 表示

	范围	位置及大小
	或
	或
	或

3．演练反馈(投影)

　(1)满足 的 的集合是(　　 )

　A．　B．

　C．　D．

　(2)已知 是第二象限角，是 ，则 ．

　(3)已知 ， ，且 为第三象限角， 为第四象限角，求 、 ．

参考答案：

(1)D　(2) ， ．

(3)

　∵ 为第三象限角， 为第四象限角．

　∴ ， ，

2．求 的值．

　解：∵ 、 表示 中的角

　∴令 ，则 ，

　　 ，则

　∴

　又∵ 和 均为锐角

　∴

　∴