15．已知函数f(x)＝Asin²(ωx+φ)(A>0，ω>0,0<φ<)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．

(1)求φ；

(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2008)．

解：(1)y＝Asin2(ωx+φ)

＝－cos(2ωx+2φ)．

∵y＝f(x)的最大值为2，A>0，

∴+＝2，A＝2.

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，

∴×＝2，ω＝.

∴f(x)＝－cos(x+2φ)＝1－cos(x+2φ)．

∵y＝f(x)过(1,2)点，∴cos(+2φ)＝－1.

∴+2φ＝2kπ+π，k∈Z，

∴2φ＝2kπ+，k∈Z，∴φ＝kx+，k∈Z.

又∵0<φ<，∴φ＝.

(2)解法一：∵φ＝，∴y＝1－cos(x+)＝1+sinx.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4.

又∵y＝f(x)的周期为4,2008＝4×502.

∴f(1)+f(2)+…+f(2008)＝4×502＝2008.

解法二：∵f(x)＝2sin2(x+φ)，

∴f(1)+f(3)＝2sin2(+φ)+2sin2(+φ)＝2，

f(2)+f(4)＝2sin2(+φ)+2sin2(π+φ)＝2，

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝4.

又y＝f(x)的周期为4,2008＝4×502.

∴f(1)+f(2)+…+f(2008)＝4×502＝2008.

14．(2008·南通一中)已知函数f(x)＝cos2x－sinxcosx－sin2x.

(1)求f(x)的最小正周期和函数f(x)图象的对称轴的方程；

(2)求f(x)的单调增区间；

(3)函数y＝cos2x的图象可以由函数f(x)的图象经过怎样的变换得到？

解：(1)f(x)＝cos.

f(x)的最小正周期为T＝π，

函数f(x)图象的对称轴的方程为x＝－(k∈Z)．

(2)f(x)的单调增区间为(k∈Z)．

(3)先将f(x)＝cos的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的倍．

13．(2009·河南六市一模)已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点(，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求φ和ω的值．

解：∵f(x)是R上的偶函数，且0≤φ≤π，

∴φ＝，∴f(x)＝sin(ωx+)＝cosωx.

又∵图象关于点(，0)对称，∴f()＝0.

即cosω＝0，ω＝kπ+，k∈Z，

∴ω＝k+，k∈Z.

又f(x)在[0，]上是单调函数，∴ω≤π，

∵ω>0，∴0<ω≤2，

即0<k+≤2，∴－<k≤1，k∈Z.

∴k＝0或k＝1，∴ω＝或ω＝2.

12．(2009·南昌市二调)已知向量a＝(sinx,2cosx)，b＝(2sinx，sinx)，设f(x)＝a·b－1.

(1)若x∈[0，]，求f(x)的值域；

(2)(理)若函数y＝f(x)的图象按向量m＝(t,0)作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，求向量m的坐标．

(文)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝α(α>0)对称，求α的最小值．

解：(1)f(x)＝a·b－1＝2sin2x+2sinxcosx－1

＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．

x∈[0，]⇒2x－∈[－，]

⇒sin(2x－)∈[－，1]⇒f(x)的值域y∈[－1,2]．

(2)(理)由(1)可设平移后的函数解析式为y＝2sin[2(x+φ)－]，即y＝2sin[2x+(2φ－)]，

∵其图象关于原点对称，

∴2φ－＝kπ，k∈Z.即φ＝+，k∈Z.

令k＝0得所求的φ＝.

因此所求的m＝(－，0)．

(文)由题设，2α－＝kπ+(k∈Z)，

即α＝+(k∈Z)．

∵α>0，∴当k＝0时，αmin＝.

11．(2009·江苏丹阳高级中学一模)给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是________．

①若cosα＝cosβ，则α－β＝2kπ，k∈Z；②函数y＝2cos(2x+)的图象关于x＝对称；③函数y＝cos(sinx)(x∈R)为偶函数；④函数y＝sin|x|是周期函数，且周期为2π.

答案：①②④

解析：对于①，若cosα＝cosβ，则α－β＝2kπ或α+β＝2kπ或k∈Z，①不正确；对于②，函数y＝2cos(2x+)的图象关于点(，0)对称，则②不正确；对于③，经验证函数y＝cos(sinx)(x∈R)为偶函数，则③正确；对于④，函数y＝sin|x|不是周期函数，则④不正确；综上所述，应填①②④.

10．(2009·东城3月·12)关于函数f(x)＝sinx(cosx－sinx)+给出下列三个命题：

(1)函数f(x)在区间[，]上是减函数；

(2)直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴；

(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x的图象向左平移而得到．

其中正确的正确序号是________．(将你认为正确命题序号都填上)

答案：(1)(2)

解析：f(x)＝sinx(cosx－sinx)+

＝sin2x－(1－cos2x)+＝

sin(2x+)．对于(1)，x∈[，]，

2x+∈[，]，则函数f(x)在区间[，]上是减函数，(1)正确；对于(2)，验证直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，则(2)正确；对于(3)，函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x的图象向左平移而得到，则(3)不正确；故填(1)(2)．

9．(2009·北京市西城区)对于函数f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，h(x)＝x+， 有如下四个命题：

①f(x)－g(x)的最大值为；

②f[h(x)]在区间[－，0]上是增函数；

③g[f(x)]是最小正周期为2π的周期函数；

④将f(x)的图象向右平移个单位可得g(x)的图象．

其中真命题的序号是________．

答案：①②

解析：f(x)－g(x)＝sinx－cosx＝sin(x－)≤，故①正确；当x∈[－，0]时，x+∈[－，]，函数f[h(x)]＝sin(x+)为增函数，故②正确；函数g[f(x)]＝cos(sinx)的最小正周期为π，故③错误；将f(x)的图象向左平移个单位可得g(x)的图象，故④错误．

8．(2009·北京市东城区)已知函数f(x)＝2sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　)

A．关于点(，0)对称　 　　　　　　　　　　　　　 B．关于点(，0)对称

C．关于直线x＝对称　 　　　　　　　　　　　　　 D．关于直线x＝对称

答案：B

解析：∵函数f(x)＝2sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，∴ω＝；∴f(x)＝2sin(x+)．

而f(x)＝sinx的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)对称，∴x+＝kπ⇒x＝2kπ－(k∈Z)；

即函数f(x)＝2sin(x+)的图象关于点(2kπ－，0)(k∈Z)对称；又f(x)＝sinx的图象关于直线x＝kπ+(k∈Z)对称，∴x+＝kπ+⇒x＝2kπ+π(k∈Z)；即函数f(x)＝2sin(x+)的图象关于直线x＝2kπ+π(k∈Z)对称，结合选项，故选B.

7．要得到函数y＝cosx的图象，只需将函数y＝sin(2x+)的图象上所有的点的(　)

A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度

B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度

D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度

答案：C

解析：y＝cosx＝sin(x+)，y＝sin(2x+)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin(x+)的图象，再向左平移个单位得到y＝sin(x+)的图象．故选C.