3. 书写格式:①准备条件;
②三角形全等书写的三步骤。
2.
三边对应相等的两个三角形全等(SSS)
1.
知道三角形三条边的长度怎样画三角形。
16在⊿ABC中,∠ACB的平分线交AB于E,过E点作BC的平行线交AC于F,交外角∠ACD的平分线于G。求证:F为EG的中点。
17在⊿ABC中,∠B=60。,∠BAC和∠BCA的
平分线AD和CF交于I点。试猜想:AF、CD、AC三条线段之间有着怎样的数量关系,并加以证明。
18在直角⊿ABC中,CA=CB,BD为AC上的中线,作∠ADF=∠CDB,如图,连结CF交BD于E,求证:CF⊥BD。
19 以⊿ABC的边AB、AC为边向形外作等边⊿ABM、⊿CAN,BN和CM交于一点P。试判断:∠APM、∠APN的大小关系,并加以证明。
8在⊿ABC中,AB=AC,D是BC边上的一点,CF=BD,BE=CD,若∠A=46。,则∠EDF= 。
9在⊿ABC中,∠A=96。,延长BC至D。∠ABC和∠ACD的平分线相交于A1; ∠A1BC和∠A1CD的平分线相交于A;依此类推,∠A4BC和∠A4CD的平分线相交于A5,则∠BA5C的大小是 。
10在⊿ABC中,∠BAC=90。,AD⊥BC于D,CE为∠BAD的平分线,交AD于E,AF为∠BAD的平分线,交BC于F,连结EF,则EF和AB的位置关系是 。
11在⊿ABC中,AD是BC边上的中线,若AC=6,AD=8,则BC的取值范围是 ;AB的取值范围是 。
12在⊿ABC中,∠C=90。,E为AB的中点,ED⊥AD且交BC于D,∠CAD:∠DAB=4:7,则∠B的度数是 。
13在直角⊿ABC中,∠ACB=90。,AM⊥AB且AM=AB。BN垂直MC所在的直线于N,AP⊥AC交NB所在的直线于P。那么,∠ACP的度数是 。
14在⊿ABC中,AC=6,AB=12,∠BAC的平分线与BC的中垂线相交于O点,OM⊥AB(或其延长线)于M,ON⊥AC(或其延长线)于N,那么,AM的长为 。
15 AD为⊿ABC中∠BAC的角平分线,DM⊥AB于M,DN⊥AC(或其延长线)于N,又∠DMN为15。,则∠BAC的度数为 。
1如图所示,AB//DC,AD//BC,AC与BD交于O点,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,那么图中全等三角形有( )
(A)5对
(B)6对
(C)7对
(D)8对
2已知a,b,c为⊿ABC的三边长,且满足a2+ab-ac-bc=0和b2+bc-ba-ca=0,则⊿ABC是( )
(A)等腰三角形
(B)直角三角形
(C)等边三角形
(D)等腰直角三角形
3若C为线段AB上的一点,且AC=AB,又AD、BE、CF都垂直于另一条直线l,D、E、F为垂足,那么,线段AD、BE、CF之间的数量关系是( )
(A)BE=3CF+AD
(B)∠BGC=(∠BAC+∠BDC)
(C)∠BGC=(∠BAC+∠BDC)
(D)∠BGC=(∠BAC+∠BDC)
4已知P为等边⊿ABC内的一点,∠APB、∠BPC、∠CPA的度数之比为5:6:7,那么,以AP、BP、CP为边的三角形的三个内角的度数之比为( )
(A)3:4:1
(B)3:4:2
(C)4:5:2
(D)4:5:3
5在具有下列条件的两个三角形中,可以证明它们全等的是( )。
(A)两个角分别对应相等,一边对应相等
(B)两条边对应相等,且第三边上的高也相等
(C)两条边对应相等,且其中一边的对角也相等
(D)一边对应相等,且这边上的高也相等
6已知三角形的一边是另一边的3倍,则该三角形的最小边长必满足下列关系式中的( )。
(A)最小边长在三角形周长的与
之间
(B)最小边长在三角形周长的与
之间
(C)最小边长在三角形周长的与
之间
(D)最小边长在三角形周长的与
之间
7若⊿ABC的最大角为α,最小角为β,且α-β=24。,那么,α和β的取值范围是( )
(A)60。<α<75。45。<β<50。
(B)65。<α<75。,45。<β<50。
(C)70。<α<80。,44。<β<52。
(D)68。<α<76。,44。<β<52。
21.解答:解法一:(Ⅰ)取中点
,连结
.
为正三角形,
.
正三棱柱
中,平面
平面
,
平面
.
连结,在正方形
中,
分别为
的中点,
,
.
在正方形中,
,
平面
.
(Ⅱ)设
与
交于点
,在平面
中,作
于
,连结
,由(Ⅰ)得
平面
.
,
为二面角
的平面角.
在中,由等面积法可求得
,又
,
.
所以二面角的大小为
.
(Ⅲ)中,
,
.
在正三棱柱中,到平面
的距离为
.设点
到平面
的距离为
.
由得
,
.
点
到平面
的距离为
.
解法二:(Ⅰ)取中点
,连结
.
为正三角形,
.
在正三棱柱
中,平面
平面
,
平面
.取
中点
,以
为原点,
,
,
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
.
平面
.
(Ⅱ)设平面的法向量为
.
,
.
,
,
令得
为平面
的一个法向量.
由(Ⅰ)平面
,
为平面
的法向量.
,
.
二面角
的大小为
.
16、.解:设
,作
,则
,
为二面角
的平面角
,结合等边三角形
与正方形可知此四棱锥为正四棱锥,则
,
故所成角的余弦值
⒘解法一:(Ⅰ)取中点
,连结
.
,
.
,
.
,
平面
.
平面
,
.
(Ⅱ),
,
.又
,
.
又,即
,且
,
平面
.取
中点
.连结
.
,
.
是
在平面
内的射影,
.
是二面角
的平面角.在
中,
,
,
,
.
二面角
的大小为
.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面
,
平面
平面
.过
作
,垂足为
.
平面
平面
,
平面
.
的长即为点
到平面
的距离.
由(Ⅰ)知,又
,且
,
平面
.
平面
,
.
在中,
,
,
.
.
点
到平面
的距离为
.
解法二:(Ⅰ),
,
.又
,
.
,
平面
.
平面
,
.
(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系
.则
.
设.
,
,
.取
中点
,连结
.
,
,
,
.
是二面角
的平面角.
,
,
,
.
二面角
的大小为
.
(Ⅲ),
在平面
内的射影为正
的中心
,且
的长为点
到平面
的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系.
,
点
的坐标为
.
.
点
到平面
的距离为
.
⒙证明:(Ⅰ)取CD中点M,连结OM.在矩形ABCD中,,又
,则
,
连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形. 又
平面CDE, EM
平面CDE,∴ FO∥平面CDE
(Ⅱ)证明:连结FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE中,且
.
因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM而FM∩CD=M,
∴CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO. 而,所以EO⊥平面CDF.
⒚证明:(1)建立如图所示的坐标系,则,
,
,
所以,故
,
,
共面.又它们有公共点
,所以
四点共面.
(2)如图,设,则
,而
,由题设得
,
得.因为
,
,有
,又
,
,所以
,
,从而
,
.故
平面
.
(3)设向量截面
,于是
,
.
而,
,得
,
,解得
,
,所以
.又
平面
,所以
和
的夹角等于
或
(
为锐角).
于是. 故
.
⒛解析:法1(1)∵AE⊥面AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E
(2)设点E到面ACD1的距离为h,在△ACD1中,AC=CD1=,AD1=
,
故
(4) 过D作DH⊥CE于H,连D1H、DE,则D1H⊥CE,
∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角.
设AE=x,则BE=2-x
法2:以D为坐标原点,直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0), C(0,2,0).(1)
(2)因为E为AB的中点,则E(1,1,0),从而,
,
设平面ACD1的法向量为,则
也即
,得
,
从而,所以点E到平面AD1C的距离为
(3)设平面D1EC的法向量,
∴
由 令b=1, ∴c=2, a=2-x,
∴依题意
∴(不合,舍去),
.∴AE=
时,二面角D1-EC-D的大小为
.
15、(1)、(3) 解:可证PQ与RS平行,从而共面,NQ与PM平行,也共面,故(1)、(3)正确,MN与RS是异面直线,故(2)错
14、②③④① 解:同垂直于一个平面的两条直线互相平行,同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行
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