1.　　 水的硬度是由什么引起的？如何定义水的硬度？

15．(2009·武汉5月调研)向量m＝(sinωx+cosωx，cosωx)，n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)(ω>0)，函数f(x)＝m·n+t，若f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为，且当x∈[0，π]时，函数f(x)的最小值为0.

(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

(Ⅱ)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB+cos(A－C)，求sinA的值．

解：(Ⅰ)f(x)＝cos2ωx－sin2ωx+2cosωx·sinωx+t

＝cos2ωx+sin2ωx+t＝2sin(2ωx+)+t.

依题意，f(x)的周期T＝3π，且ω>0，∴T＝＝＝3π，∴ω＝.

∴f(x)＝2sin(x+)+t

∵x∈[0，π]，∴≤+≤，

∴≤sin(+)≤1

∴f(x)的最小值为t+1，即t+1＝0，∴t＝－1.

∴f(x)＝2sin(+)－1

(Ⅱ)∵f(C)＝2sin(+)－1＝1.

∴sin(+)＝1.

又∵C∈(0，π)，∴C＝.

在Rt△ABC中，∵A+B＝，2sin2B＝cosB+cos(A－C)

∴2cos2A＝sinA+sinA，sin2A+sinA－1＝0，

解得sinA＝.

又∵0<sinA<1，∴sinA＝.

14．(2009·重庆调研)设函数f(x)＝

.

(Ⅰ)求函数y＝f(x)的周期；

(Ⅱ)设函数y＝f(x)的定义域为A，若x∈[0，]∩A，求函数y＝f(x)的值域．

解：(Ⅰ)f(x)＝

＝＝

＝.

故函数f(x)的周期为T＝π.

(Ⅱ)∵2x+≠kπ⇒x≠－，∴A＝{x|x≠－k∈Z}，

又∵[0，]∩A＝[0，)∪(，]，∴2x+∈[，π)∪(π，]，

∴sin(2x+)∈[－，0)∪(0,1]，

∴函数y＝f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，+∞)．

13．(2009·合肥质检)已知函数f(x)＝sin2ωx+sinωxsin(ωx+)+2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.

(Ⅰ)求ω；

(Ⅱ)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．

解：本题考查三角函数恒等变换公式的应用，三角函数图象性质及变换．

(Ⅰ)f(x)＝sin2ωx+cos2ωx+＝sin(2ωx+)+

令2ωx+＝，将x＝代入可得：ω＝1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)＝sin(2x+)+，

经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(x－)+，

当x＝4kπ+π，k∈Z时，函数取得最大值

令2kπ+≤x－≤2kπ+π，即x∈[4kπ+，4kπ+π]k∈Z为函数的单调递减区间．

12．(2009·兰州市诊测)已知函数f(x)＝(sinx+cosx)cosx－(ω>0)的最小正周期为2π.

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．

解：(Ⅰ)f(x)＝sinxcosx+cos2x－＝sin(ωx+)

∵T＝＝2π　∴ω＝1　∴f(x)＝sin(x+)

(Ⅱ)∵(2a－c)cosB＝bcosC

∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC

2sinAcosB＝sin(B+C)＝sinA　∴cosB＝　∴B＝

∵f(A)＝sin(A+)　0<A<　∴<A+<∴f(A)∈(，1]

11．定义运算a※b＝如1※2＝1，则函数f(x)＝sinx※cosx的值域为________；若a※b＝如1※2＝2，则函数f(x)＝sinx※cosx的值域为________．

答案：　

解析：若a※b＝

则f(x)＝其图象如下图甲所示，由图象可得，函数f(x)的值域是

10．(2008·广东六校联考)已知函数y＝asin2x+bcos2x+2(ab≠0)的一条对称轴方程为x＝，则函数y＝asin2x+bcos2x+2的位于对称轴x＝左边的第一个对称中心为________．

答案：

解析：函数y＝asin2x+bcos2x+2(ab≠0)的周期为π，它一条对称轴方程x＝，则函数y＝asin2x+bcos2x+2的位于对称轴x＝左边的第一个对称中心为，即，故填.

9．设f(x)＝sinx+cosx，若<x1<x2<，则f(x1)与f(x2)的大小关系是__________．

答案：f(x1)>f(x2)

解析：∵f(x)＝sin(x+)，<x<⇒<x+<，∴f(x)在(，)上递减，f(x1)>f(x2)．

8．(2009·哈尔滨市质检)将函数y＝sin(x－θ)的图象F按向量a＝(，3)平移得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝，则θ的一个可能取值是(　)

A.π　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－π

C.π　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．－π

答案：A

解析：本题考查向量平移和三角函数性质；据已知得平移后图象对应的解析式为y＝sin(x－θ－)+3，根据对称轴的意义分别将各选项代入检验，易知当θ＝时，使得sin(－θ－)＝－1，满足题意，故选A.

7．(2009·山西监汾市高三模拟)若函数y＝asin(x－)+bcos(x－)是奇函数，则下列结论一定成立的是(　)

A．a+b＝+1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．a－b＝－1

C．a·b＝　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．a＝b

答案：D

解析：本题是关于三角函数的奇偶性内容的题，由y＝asin(x－)+bcos(x－)化简可得：y＝(a+b)sinx+(b－a)cosx，要使函数为奇函数，则必有b－a＝0，即得到a＝b，故选D.