4、2002年12月30日凌晨,“神舟四号”飞船发射升空,飞船按预定轨道在太空飞行六天零十八小时(用t表示),环绕地球一百零八圈(用n表示),返回舱于2003年1月5日顺利返回地面。“神舟四号”运行过程中由于大气摩擦等因素,会逐渐偏离预定的轨道,因此“神舟四号”先后进行了三次精确的“轨道维持”(通过发动机向后喷气,利用反冲校准轨道)。设总质量为m的“神舟四号”飞船的预定圆形轨道高度为h,当其实际运行高度比预定轨道高度衰减了△h时,控制中心开始启动轨道维持程序,开始小动量发动机,经时间△t后,飞船恰好重新进入预定轨道平稳飞行。地球半径为R,地球表面重力加速度为g。
(1)求“神舟四号”轨道离地面高度h的表达式(用题中所给的数据表示);
(2)已知质量为m的物体在地球附近的万有引力势能(以无穷远处引力势能为零,r表示物体到地心的距离),忽略在轨道维持过程中空气阻力对飞船的影响。求在轨道维持过程中,小动量发动机的平均功率P的表达式(轨道离地面高度h不用代入(1)问中求得的结果)。
4答案:(1)
(2)卫星的动能EK=mv2/2=GMm/2r=R2mg/2r
卫星的机械能为E=EP+EK =-R2mg/2r
由发动机做功W=E2-E1 及P=W/t有
2、如图所示,光滑水平面上物块A质量mA=2千克,物块B与物块C质量相同mB=mC=1千克,用一轻质弹簧将物块A与B连接,现在用力使三个物块靠近,A、B间弹簧被压缩,此过程外力做功72焦,然后释放,试问:
(1)当物块B与C分离时,B对C做功多少?
(2)当弹簧被拉到最长时,物块A和B的速度各为多少?
(3)当弹簧被拉到最长后又恢复到原长时,物块A和B 的速度各为多少?
(4)当弹簧再次被压缩到最短面后又伸长到原长时,物块A和B的速度各为多少?
解答: (1)18J
(2)v=2m/s 方向向右
(3)vA=2m/s 方向向左 vB=10m/s 方向向右
(4)vA}=2m/s 方向向左 vB}=10m/s 方向向右
vA}=6m/s 方向向右 vB}=6m/s 方向向左
3、在光滑水平面上,有一质量m1=20kg的小车,通过一要几乎不可伸长的轻绳子与另一质量m2=25kg的拖车相连接,一质量m3=15kg的物体放在拖车的平板上,物体与平板间的动摩擦因数μ=0.2。开始时,拖车静止,绳未拉紧,如图所示,小车靠惯性以v0=3m/s的速度前进,求:
(1)当m1、m2、m3以同一速度前进时,其速度的大小。
(2)物体在拖车平板上移动的距离。
3解:(1)取1、2、3研究 设三者共同速度为v2
(2)先取 1、2研究,它们的共同速度为v1
又根据能量守恒
1、长为L的细绳一端固定于O点,如图所示,另一端拴一质量为m的小球,把线拉至最高点A以水平抛出,求当v0为下列值时,小球运动到最低点C时线中的张力大小。(1)v0=2
(2)
解:(1) 由于v0=2大于作圆周运动最高点的最小速度
,故小球做圆周运动。
由机械能守恒得:
又 T-mg=m 故 T=9mg
(2)由于小于作圆周运动最高点的最小速度
,故小球开始做平抛运动。设小球运动到B点时绳张紧,此时悬线与水平方向夹角为
,由平抛运动规律有:Lcos
=v0t L(1-sin
)=
gt2 得
=0°说明B与O在同一水平线上。此时vBx=
, vBy=
。接着,由于绳子瞬时张紧,产生瞬时冲量,使小球水平冲量变为零,机械能损失。然后小球以
的速度从召开始作圆周运动到C点,机械能守恒有:
,在最低点有:T-mg=
, 故小球在最低点C时绳的拉力T=5mg
16.如图所示,在光滑水平面上放一质量为M、边长为l的正方体木块,木块上搁有一长为L的轻质光滑棒,棒的一端用光滑铰链连接于地面上O点,棒可绕O点在竖直平面内自由转动,另一端固定一质量为m的均质金属小球.开始时,棒与木块均静止,棒与水平面夹角为角.当棒绕O点向垂直于木块接触边方向转动到棒与水平面间夹角变为
的瞬时,求木块速度的大小.
解答:设杆和水平面成角时,木块速度为v,水球速度为vm,杆上和木块接触点B的速度为vB,因B点和m在同一杆上以相同角速度绕O点转动,所以有:
=
=
=
.B点在瞬间的速度水平向左,此速度可看作两速度的合成,即B点绕O转动速度v⊥= vB及B点沿杆方向向m滑动的速度v∥,所以vB = vsin
.故vm = vB
=
.因从初位置到末位置的过程中只有小球重力对小球、轻杆、木块组成的系统做功,所以在上述过程中机械能守恒:
mgL(sin)=
综合上述得v = l
.
15.解:由A点滑到C点,物块静止,由于系统水平方向动量守恒,C处车也静止。故重力势能的减少转化为热能。
mgR=μmgL, μ=R/L=0.25
物块由A到B,小车向左加速;由B到C, 物块速度减小,车速也减小。故B处车速最大,设为v ,有M v=mu
由能量守恒
解得
15.如图所示,质量为
的小车放在光滑的水平面上,其中AB部分为半径R=0.5m的光滑
圆弧,BC部分水平且不光滑,长为L=2m,一小物块质量m=6Kg,由A点静止释放,刚好滑到C点静止(取g=10
),求:
①物块与BC间的动摩擦因数
②物块从A滑到C过程中,小车获得的最大速度
14.解:雨滴下落时受两个力作用:重力,方向向下;空气阻力,方向向上,当雨滴达到终极速度后,加速度为零,二力平衡,用
表示雨滴质量,有
①
② 由①②得终极速度
③
代入数值得=1.2m/s .
14.当物体从高空下落时,空气阻力随速度的增大而增大,因此经过一段距离后将匀速下落,这个速度称为此物体下落的终极速度.
已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度,且正比于球半径
,即阻力
是比例系数. 对于常温下的空气,比例系为
已知水的密度
取重力加速度
试求半径
的球形雨滴在无风情况下的终极速度
(结果取两位数字)
13. 设小车和射入小车中的水的质量分别为M和 m,对于小车和射入的水组成的系统,水平方向动量守恒,以向东为正方向,有
随着射入小车中水的质量增加,车与车中的水的速度V要减小,直到速度V=0,射入小车的水质量再增加,V<0,小车(包括车中的水)的速度方向变为向西。因此对应V=0时的水的质量即为所求。
m=2.5kg。
13.一辆玩具小车的质量为3.0kg,沿光滑的水平面以2.0m/s的速度向正东方向运动,要使小车的运动方向改变,可用速度为2.4m/s的水流由西向东射到小车的竖直挡板CD上,然后流入车中.求:要改变小车的运动方向,射到小车里的水的质量至少是多少?
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