2．解法一：设，则

解法二：

3．；　 4．

分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．

解：1．解法一：可看成复合而成．

解法二：

解法三：，

1．；2．；

3．

说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准．

根据斜率求对应曲线的切线方程

例　 求曲线的斜率等于4的切线方程．

分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程．

解：设切点为，则

，∴，即，∴

当时，，故切点P的坐标为(1，1)．

∴所求切线方程为

即

说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．

求直线方程

例　 求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程．

分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程．

解：，∴

曲线在点处的切线斜率是

∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为，

∴所求的直线方程为，

即．

说明：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数是否为零，当时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．

求曲线方程的交点处切线的夹角

例 　设曲线和曲线在它们的交点处的两切线的夹角为，求的值．

分析：要求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率．根据导数的几何意义，只需先求出两曲线在交点处的导数，再应用两直线夹角公式求出夹角即可．

解：联立两曲线方程解得两曲线交点为(1，1)．

设两曲线在交点处的切线斜率分别为，则

由两直线夹角公式

说明：探求正确结论的过程需要灵巧的构思和严谨的推理运算．两曲线交点是一个关键条件，函数在交点处是否要导也是一个不能忽视的问题，而准确理解题设要求则是正确作出结论的前提．

求常函数的导数

例　 设，则等于(　 )

　　 A．　 B．　 C．0　 D．以上都不是

分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可

解：因为是常数，常数的导数为零，所以选C．

2．

1．；2．；3．．

分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整．函数和的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导．

解：1．

2．

说明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念．

证明函数的在一点处连续

例 　证明：若函数在点处可导，则函数在点处连续．

分析：从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明在点处连续，必须证明．由于函数在点处可导，因此，根据函数在点处可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式(变为导数定义形式)的转化．

解：证法一：设，则当时，，

∴函数在点处连续．

证法二：∵函数在点处可导，

∴在点处有

∴∴函数在点处连续．

说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透过现象看清问题的本质，正确运用转化思想来解决问题．函数在点处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限．反之则不一定成立．证题过程中不能合理实现转化，而直接理解为是使论证推理出现失误的障碍．

2．求函数(a、b为常数)的导数．

分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法，确定函数在处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法．

解：1．解法一(导数定义法)：，

解法二(导函数的函数值法)：，

∴

3．(含)，

∴

故选A．

说明：概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因．解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化．

利用定义求导数

例　 1．求函数在处的导数；

2．原式＝