12．(2009·江苏，15)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α+β)的值；

(2)求|b+c|的最大值；

(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.

[解]　(1)b－2c＝(sinβ－2cosβ，4cosβ+8sinβ)

∵a⊥(b－2c)∴a·(b－2c)＝0

∴4cosαsinβ－8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ＝0

化简得4sin(α+β)－8cos(α+β)＝0

因此tan(α+β)＝2

(2)b+c＝(sinβ+cosβ，4cosβ－4sinβ)

∴|b+c|＝

＝≤4

当β＝－时等号成立，故|b+c|的最大值为4

(3)[证明]　tanαtanβ＝16得

＝

∴a∥b

亲爱的同学请写上你的学习心得

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11．已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－.当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．

[解]　设点M(x，y)为轨迹上的任一点，且设A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，则

＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)．

∵＝－，

∴(x，y－b)＝－(a－x，－y)．

∴a＝，b＝－，

即A(0，－)，Q(，0)．

＝(3，－)，＝(x，y)

∵·＝0，

∴3x－y²＝0.

即所求轨迹方程为y²＝4x(x＞0)．

10．(2009·天津，15)在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，+＝，则四边形ABCD的面积为________．

[解析]　已知+＝由单位向量得(如图)∠ABC＝60°

∵＝＝(1,1)，∠ABC＝60°，AC⊥BD

∴S＝2××()²＝

[答案]　

9．已知三个力f₁＝(－2，－1)，f₂＝(－3,2)，f₃＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f₄，则f₄＝________.

[解析]　由物理知识知：f₁+f₂+f₃+f₄＝0.

∴f₄＝(1,2)

[答案]　(1,2)

8．(2008·全国Ⅱ卷文、理)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa+b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.

[答案]　2

7．(2008·上海文、理)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为，则|a+b|＝________.

[答案]　

6．(2009·全国Ⅰ，6)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　)

A．－2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－2

C．－1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．1－

[解析]　不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(cosθ，sinθ)

则易得(a－c)·(b－c)＝1－sin(θ+)

故得其最小值为1－.

[答案]　D

5．(2007·湖北文)设a＝(4,3)，a在b上的投影为，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为

(　)

A．(2,14)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　B．(2，－)

C．(－2，)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(2,8)

[答案]　B

4．(2007·山东，7)设P是△ABC所在平面内的一点，+＝2，则

(　)

A.+＝0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.+＝0

C.+＝0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.++＝0

[解析]　因+＝2，则P为线段AC的中点，故选B.

[答案]　B

3．(2007·浙江文)若非零向量a、b满足|a－b|＝|b|，则

(　)

A．|2b|＞|a－2b|　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．|2b|＜|a－2b|

C．|2a|＞|2a－b|　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．|2a|＜|2a－b|

[答案]　A